Polícia Militar do Estado de São Paulo – PM-SP Soldado PM de 2ª Classe PARTE 03

APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 15
- Aumento e Desconto Percentuais
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo
por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V .
Logo:
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V
Exemplos:
1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicálo
por 1,20, pois:
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V
2 - Aumentar um valor V de 200% , equivale a multiplicálo
por 3 , pois:
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15%
e 20%, respectivamente, a área do retângulo é aumentada de:
A)35%
B)30%
C)3,5%
D)3,8%
E) 38%
Resolução:
Área inicial: a.b
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial.
Logo o aumento foi de 38%.
Resposta E
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo
por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V.
Logo:
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V
Exemplos:
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo
por 0,80, pois:
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo
por 0,60, pois:
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de
8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era o seu valor antes
do desconto?
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que
queremos achar.
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V =
115/0,92 → V = 125
O valor antes do desconto é de R$ 125,00.
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que
chamamos de fator de multiplicação, muito útil para
resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um
acréscimo ou decréscimo no valor do produto.
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação:
%
Fator de
multiplicação -
Acréscimo
Fator de
multiplicação -
Decréscimo
10% 1,1 0,9
15% 1,15 0,85
18% 1,18 0,82
20% 1,2 0,8
63% 1,63 0,37
86% 1,86 0,14
100% 2 0
- Aumentos e Descontos Sucessivos
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente.
Para efetuar os respectivos descontos ou aumentos, fazemos
uso dos fatores de multiplicação.
Vejamos alguns exemplos:
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um
único aumento de...?
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1 , como são dois de
10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 Analisando o fator de
multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos
significam um único aumento de 21%.
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a
21% e não a 20%.
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um
único desconto de:
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . .
Analisando o fator de multiplicação 0,64, observamos que
esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim
o valor pago com o desconto. Para sabermos o valor que
representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo:
100% - 64% = 36%
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a
36% e não a 40%.
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00
sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um desconto de
20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e
desconto?
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos:
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200,
podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo em uma única
equação:
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é
de R$ 5.200,00
Questões
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica –
Matemática – GR Consultoria e Assessoria/2016) Marcos
comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de
juros. Se tivesse comprado o produto, com 25% de desconto,
então, Marcos pagaria o valor de:
(A) R$ 67,50
(B) R$ 90,00
(C) R$ 75,00
(D) R$ 72,50
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP –
Analista Técnico Legislativo – Designer Gráfico – VUNESP)
O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20
funcionários, sendo que 15% deles são estagiários. O
departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários,
sendo 20% estagiários. Em relação ao total de funcionários
desses dois departamentos, a fração de estagiários é igual a
(A) 1/5.
(B) 1/6.
(C) 2/5.
(D) 2/9.
(E) 3/5.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 16
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica –
Matemática – GR Consultoria e Assessoria/2016) Quando
calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado
(A) 150
(B) 159,50;
(C) 165,60;
(D) 169,50.
Respostas
01. Resposta: A.
Como o produto já está acrescido de 20% juros sobre o seu
preço original, temos que:
100% + 20% = 120%
Precisamos encontrar o preço original (100%) da
mercadoria para podermos aplicarmos o desconto.
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos:
R$ %
108 ---- 120
X ----- 100
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x =
90,00
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e
representa 100%. Logo se receber um desconto de 25%,
significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50
Então Marcos pagou R$ 67,50.
02. Resposta: B.
* Dep. Contabilidade:
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários)
* Dep. R.H.:
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários)
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
03. Resposta: D.
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente
ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através
de um processo prático, chamado regra de três simples.
Vejamos a tabela abaixo:
Grandezas Relação Descrição
Nº de
funcionário x
serviço
Direta
MAIS funcionários
contratados demanda MAIS
serviço produzido
Nº de
funcionário x
tempo
Inversa
MAIS funcionários
contratados exigem MENOS
tempo de trabalho
Nº de
funcionário x
eficiência
Inversa
MAIS eficiência (dos
funcionários) exige MENOS
funcionários contratados
Nº de
funcionário x
Direta Quanto MAIOR o grau de
dificuldade de um serviço,
grau
dificuldade
MAIS funcionários deverão
ser contratados
Serviço x
tempo
Direta
MAIS serviço a ser produzido
exige MAIS tempo para
realiza-lo
Serviço x
eficiência
Direta
Quanto MAIOR for a
eficiência dos funcionários,
MAIS serviço será produzido
Serviço x grau
de dificuldade
Inversa
Quanto MAIOR for o grau de
dificuldade de um serviço,
MENOS serviços serão
produzidos
Tempo x
eficiência
Inversa
Quanto MAIOR for a
eficiência dos funcionários,
MENOS tempo será
necessário para realizar um
determinado serviço
Tempo x grau
de dificuldade
Direta
Quanto MAIOR for o grau de
dificuldade de um serviço,
MAIS tempo será necessário
para realizar determinado
serviço
Exemplos:
1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros
de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de
álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser
consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma
mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se
correspondem em uma mesma linha:
Distância (km) Litros de álcool
180 ---- 15
210 ---- x
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”),
vamos colocar uma flecha:
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de
álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros
de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que
estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha
na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna
“litros de álcool”:
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
6. Regra de três simples.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 17
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
1806
2107 =
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠)
→ 6𝑥 = 7.156𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
2) Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu
gastaria 7 h para fazer certo percurso. Aumentando a
velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse
percurso?
Indicando por x o número de horas e colocando as
grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem em
uma mesma linha, temos:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
50 ---- 7
80 ---- x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos
colocar uma flecha:
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica
reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade
e tempo são inversamente proporcionais. No nosso
esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna
“velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da
coluna “tempo”:
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das
flechas. Assim, temos:
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505 → 7.5 = 8. 𝑥
𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos),
então o percurso será feito em 4 horas e 22 minutos
aproximadamente.
3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um
competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz
o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300
km/h, que tempo teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade
(180 km/h e 300 km/h) com dois valores da grandeza tempo
(20 s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os
outros três.
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto
para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas
são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300
são inversamente proporcionais aos números 20 e x.
Daí temos:
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
𝑥 = 12
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em
300 km/h, teria gasto 12 segundos para realizar o percurso.
Questões
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de
maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo publicou a seguinte
informação sobre o número de casos de dengue na cidade de
Campinas.
De acordo com essas informações, o número de casos
registrados na cidade de Campinas, até 28 de abril de 2014,
teve um aumento em relação ao número de casos registrados
em 2007, aproximadamente, de
(A) 70%.
(B) 65%.
(C) 60%.
(D) 55%.
(E) 50%.
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo –
VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto sobre o
valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é
correto afirmar que o valor total desse título era de
(A) R$ 345,00.
(B) R$ 346,50.
(C) R$ 350,00.
(D) R$ 358,50.
(E) R$ 360,00.
03. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF.
IMARUÍ) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte e
sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre
o valor de custo do tal veículo, por quanto Manoel adquiriu o
carro em questão?
(A) R$24.300,00
(B) R$29.700,00
(C) R$30.000,00
(D)R$33.000,00
(E) R$36.000,00
04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de
Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala era
1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida
com a régua, era de 12 centímetros. Isso significa que essa
distância, em termos reais, é de aproximadamente:
(A) 180 quilômetros.
(B) 1.800 metros.
(C) 18 quilômetros.
(D) 180 metros.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 18
Respostas
01. Resposta: E.
Utilizaremos uma regra de três simples:
ano %
11442 ------- 100
17136 ------- x
11442.x = 17136 . 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8%
(aproximado)
149,8% – 100% = 49,8%
Aproximando o valor, teremos 50%
02. Resposta: C.
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$
315,00 equivale a 90% (100% - 10%).
Utilizaremos uma regra de três simples:
$ %
315 ------- 90
x ------- 100
90.x = 315 . 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00
03. Resposta: C.
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é
90% do valor total.
Valor %
27000 ------ 90
X ------- 100
27000
𝑥
=
909
10010 →
27000
𝑥
=
9
10
→ 9.x = 27000.10 → 9x = 270000
→ x = 30000.
04. Resposta: C.
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do
mapa, teremos 150.000 cm no tamanho real. Assim, faremos
uma regra de três simples:
mapa real
1 --------- 150000
12 --------- x
1.x = 12 . 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km
MEDIA ARITMÉTICA
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e
efetue uma certa operação com todos os elementos de A.
Se for possível substituir cada um dos elementos do
conjunto A por um número x de modo que o resultado da
operação citada seja o mesmo diz – se, por definição, que x será
a média dos elementos de A relativa a essa operação.
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à
adição é chamada média aritmética.
- Cálculo da média aritmética
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto
numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição:
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto
numérico A é a soma de todos os seus elementos, dividida
pelo número de elementos n.
Exemplos:
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9,
e 13.
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3,
4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por
5. Assim:
𝑥 =
3 + 4 + 6 + 9 + 13
5
↔ 𝑥 =
35
5
↔ 𝑥 = 7
A média aritmética é 7.
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguro
estão indicados a seguir:
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65
Se somarmos todos os valores teremos:
𝑥 =
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65
15
=
1075
15
= 71,70
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de
turistas foi de R$ 71,70.
Questões
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP –
Analista Técnico Legislativo – Designer Gráfico – VUNESP)
Na festa de seu aniversário em 2014, todos os sete filhos de
João estavam presentes. A idade de João nessa ocasião
representava 2 vezes a média aritmética da idade de seus
filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a idade de João
valia
(A) 1,5.
(B) 2,0.
(C) 2,5.
(D) 3,0.
(E) 3,5.
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os
censos populacionais produzem informações que permitem
conhecer a distribuição territorial e as principais
características das pessoas e dos domicílios, acompanhar sua
evolução ao longo do tempo, e planejar adequadamente o uso
sustentável dos recursos, sendo imprescindíveis para a
definição de políticas públicas e a tomada de decisões de
investimento. Constituem a única fonte de referência sobre a
situação de vida da população nos municípios e em seus
recortes internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou
urbanos – cujas realidades socioeconômicas dependem dos
resultados censitários para serem conhecidas.
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.sh
tm
(Acesso dia 29/08/2011)
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a
distribuição entre homens e mulheres no território brasileiro.
A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira
disponibilizada pelo IBGE.
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php
(Acesso dia 29/08/2011)
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de
homens e mulheres, por faixa etária de uma determinada
cidade. (Dados aproximados)
7. Média aritmética simples.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 19
Considerando somente a população masculina dos 20 aos
44 anos e com base no quadro abaixo a frequência relativa, dos
homens, da classe [30, 34] é:
(A) 64%.
(B) 35%.
(C) 25%.
(D) 29%.
(E) 30%.
03. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as
Áreas – EB) Em uma turma a média aritmética das notas é 7,5.
Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e
das notas dos homens é 6. Se o número de mulheres excede o
de homens em 8, pode-se afirmar que o número total de alunos
da turma é
(A) 4.
(B) 8.
(C) 12.
(D) 16.
(E) 20.
04. (SAP/SP - Oficial Administrativo – VUNESP) A altura
média, em metros, dos cinco ocupantes de um carro era y.
Quando dois deles, cujas alturas somavam 3,45 m, saíram do
carro, a altura média dos que permaneceram passou a ser 1,8
m que, em relação à média original y, é
(A) 3 cm maior.
(B) 2 cm maior.
(C) igual.
(D) 2 cm menor.
(E) 3 cm menor.
05. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma
empresa com 5 funcionários, a soma dos dois menores salários
é R$ 4.000,00, e a soma dos três maiores salários é R$
12.000,00. Excluindo-se o menor e o maior desses cinco
salários, a média dos 3 restantes é R$ 3.000,00, podendo-se
concluir que a média aritmética entre o menor e o maior
desses salários é igual a
(A) R$ 3.500,00.
(B) R$ 3.400,00.
(C) R$ 3.050,00.
(D) R$ 2.800,00.
(E) R$ 2.500,00.
Respostas
01. Resposta: E.
Foi dado que: J = 2.M
𝐽 =
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
7
= 2. 𝑀 ( I )
Foi pedido:
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
= ?
Na equação ( I ), temos que:
7 =
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
7
2
=
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝑀
𝑎 + 𝑏 + ⋯ + 𝑔
𝑀
= 3,5
02. Resposta: E.
[30, 34] = 600, somatória de todos os homens é:
300+400+600+500+200= 2000
600
300+400+600+500+200
=
600
2000
= 0,3 . (100) = 30%
03. Resposta: D.
Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h =
homens).
A média da turma é 7,5, sendo S a soma das notas:
𝑆
𝑚+ℎ
=
7,5 → 𝑆 = 7,5(𝑚 + ℎ)
A média das mulheres é 8, sendo S1 a soma das notas:
𝑆1
𝑚
=
8 → 𝑆1 = 8𝑚
A média dos homens é 6, sendo S2 a soma das notas:
𝑆2
ℎ
= 6
→ 𝑆2 = 6ℎ
Somando as notas dos homens e das mulheres:
S1 + S2 = S
8m + 6h = 7,5(m + h)
8m + 6h = 7,5m + 7,5h
8m – 7,5m = 7,5h – 6h
0,5m =1,5h
𝑚 =
1,5ℎ
0,5
𝑚 = 3ℎ
h + 8 = 3h
8 = 3h – h
8 = 2h → h = 4
m = 4 + 8 = 12
Total de alunos = 12 + 4 = 16
04. Resposta: A.
Sendo S a soma das alturas e y a média, temos:
𝑆
5
= 𝑦 → S = 5y
𝑆−3,45
3
= 1,8 → S – 3,45 = 1,8.3
S – 3,45 = 5,4
S = 5,4 + 3,45
S = 8,85, então:
5y = 8,85
y = 8,85 : 5 = 1,77
1,80 – 1,77 = 0,03 m = 3 cm a mais.
05. Resposta: A.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
x1 + x2 = 4000
x3 + x4 + x5 = 12000
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4
3
= 3000
x2 + x3 + x4 = 9000
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 4000 + 12000 = 16000
Sendo 𝑥1 𝑒 𝑥5 o menor e o maior salário, respectivamente:
𝑥1 + 9000 + 𝑥5 = 16000
𝑥1 + 𝑥5 = 16000 − 9000 = 7000
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 20
Então, a média aritmética:
𝑥1 + 𝑥2
2
=
7000
2
= 3500
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à
adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é
chamada média aritmética ponderada.
- Cálculo da média aritmética ponderada
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do
conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3;
...; Pn, respectivamente, então, por definição:
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + ... +
Pn) . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então 𝑥 =
𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; …; 𝑥𝑛
𝑛
: que é a média aritmética simples.
A média aritmética ponderada dos n elementos do
conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada
elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela
soma dos pesos.
Exemplos:
1) Calcular a média aritmética ponderada dos números 35,
20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente.
Se x for a média aritmética ponderada, então:
𝑥 =
2 .35 + 3 .20 + 5 .10
2 + 3 + 5
↔ 𝑥 =
70 + 60 + 50
10
↔ 𝑥 =
180
10
↔ 𝑥 = 18
A média aritmética ponderada é 18.
2) Em um dia de pesca nos rios do pantanal, uma equipe de
pescadores anotou a quantidade de peixes capturada de cada
espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado
em Campo Grande.
Tipo de
peixe
Quilo de peixe
pescado
Preço por
quilo
Peixe A 18 R$ 3,00
Peixe B 10 R$ 5,00
Peixe C 6 R$ 9,00
Vamos determinar o preço médio do quilograma do peixe
vendido pelos pescadores ao supermercado.
Considerando que a variável em estudo é o preço do quilo
do peixe e fazendo a leitura da tabela, concluímos que foram
pescados 18 kg de peixe ao valor unitário de R$ 3,00, 10 kg de
peixe ao valor unitário de R$ 5,00 e 6 kg de peixe ao valor de
R$ 9,00.
Vamos chamar o preço médio de p:
𝑝 =
18𝑥3,00 + 10𝑥5,00 + 6𝑥9,00
18 + 10 + 6
=
54 + 50 + 54
34
=
158
34
= 4,65 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Neste caso o fator de ponderação foi a quantidade de
peixes capturadas de cada espécie.
A palavra média, sem especificações (aritmética ou
ponderada), deve ser entendida como média aritmética.
Questões
01. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de
densidade 800 g/l será misturado a um líquido L2 de
densidade 900 g/l Tal mistura será homogênea e terá a
proporção de 3 partes de L1 para cada 5 partes de L2 A
densidade da mistura final, em g/l, será
(A) 861,5.
(B) 862.
(C) 862,5.
(D) 863.
02. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o
movimento diário, um atacadista, que vende à vista e a prazo,
montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu
faturamento no dia com o respectivo prazo, em dias, para que
o pagamento seja efetuado.
PORCENTUAL DO
FATURAMENTO
PRAZO PARA
PAGAMENTO (DIAS)
15% À vista
20% 30
35% 60
20% 90
10% 120
O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas
efetuadas nesse dia, é igual a
(A) 75.
(B) 67.
(C) 60.
(D) 57.
(E) 55.
03. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Uma
loja de roupas de malha vende camisetas com malha de três
qualidades. Cada camiseta de malha comum custa R$15,00, de
malha superior custa R$24,00 e de malha especial custa
R$30,00. Certo mês, a loja vendeu 180 camisetas de malha
comum, 150 de malha superior e 70 de malha especial. O preço
médio, em reais, da venda de uma camiseta foi de:
(A) 20.
(B) 20,5.
(C) 21.
(D) 21,5.
(E) 11.
Respostas
01. Resposta: C.
3.800+5.900
3+5
=
2400+4500
8
=
6900
8
= 862,5
02. Resposta: D.
Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual
pelo prazo e dividimos pela soma dos porcentuais.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 21
15.0+20.30+35.60+20.90+10.120
15+20+35+20+10
=
=
600+2100+1800+1200
100
=
=
5700
100
= 57
03. Resposta: C.
Também média aritmética ponderada.
180.15+150.24+70.30
180+150+70
=
=
2700+3600+2100
400
=
=
8400
400
= 21
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime
uma relação de igualdade e uma incógnita ou variável (x, y,
z,...).
Observe a figura:
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde
precisamos achar o valor da variável x, para manter a balança
equilibrada. Equacionando temos:
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750.
Exemplos:
2x + 8 = 0
5x – 4 = 6x + 8
3a – b – c = 0
- Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x – 5 < 3 (Não é igualdade)
5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade)
Termo Geral da equação do 1º grau
Onde a e b (a≠0) são números conhecidos e a diferença de
0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados
obtemos:
ax + b – b = 0 – b → ax = -b → x = -b / a
Termos da equação do 1º grau
Nesta equação cada membro possui dois termos:
1º membro composto por 5x e -1
2º membro composto pelo termo x e +7
Resolução da equação do 1º grau
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau
é isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um
dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é
invertermos as operações. Vejamos
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os
termos que tem x para um lado e os números para o outro
invertendo as operações.
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha
equação → x = 150
Outros exemplos:
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo
operações.
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se
que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é
igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos
a multiplicação por 3).
Registro:
3x – 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x =
3
18
x = 6
2) Resolução da equação: 1 – 3x +
5
2
= x +
2
1
, efetuando
a mesma operação nos dois lados da igualdade(outro método
de resolução).
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois
lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são
eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os
cálculos necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma
operação nos dois lados da igualdade. No registro, as
operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com
as setas curvas verticais.
Registro:
1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2
1. (10) − 3𝑥. (10) + 2. (2)
10
=
𝑥. (10) + 1. (5)
10
10 – 30x + 4 = 10 x + 5
-30x -10x = 5 – 10 – 4
-40x = -9 (-1)
40x = 9
x = 9/40
x = 0,225
Há também um processo prático, bastante usado, que se
baseia nessas ideias e na percepção de um padrão visual.
8. Equação do 1º grau. 9.
Sistema de equações do 1º
grau.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 22
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b.
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no
lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no
lado direito da igualdade.
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0.
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando
no lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado
direito da igualdade.
O processo prático pode ser formulado assim:
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com
incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro
lado.
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação.
Questões
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O
gráfico mostra o número de gols marcados, por jogo, de um
determinado time de futebol, durante um torneio.
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um
total de 28 gols, então, o número de jogos em que foram
marcados 2 gols é:
(A) 3.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 6.
(E) 7.
02. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF.
IMARUÍ) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro
que ganhou e 1/3(um terço) do restante de cada uma foi
colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos
reais), qual foi a quantia dividida inicialmente?
(A) R$900,00
(B) R$1.800,00
(C) R$2.700,00
(D) R$5.400,00
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB)
Um grupo formado por 16 motoristas organizou um churrasco
para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram
de participar. Para manter o churrasco, cada um dos
motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais.
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi:
(A) R$ 570,00
(B) R$ 980,50
(C) R$ 1.350,00
(D) R$ 1.480,00
(E) R$ 1.520,00
Respostas
01. Resposta: E.
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2
x = 7
02. Resposta: D.
Quantidade a ser recebida por cada um: x
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu
R$900,00, quer dizer que cada uma colocou R$300,00.
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300
2𝑥 − 𝑥
6
= 300
𝑥
6
= 300
x = 1800
Recebida: 1800.3=5400
03. Resposta: E.
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim:
16 . x = Total
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram)
Combinando as duas equações, temos:
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00.
SISTEMA DO 1º GRAU
- Definição
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem
por uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros
e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou
R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram
satisfeitos e foram para casa.
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram
sobre suas compras, porém não se lembrava do preço unitário
dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os
cadernos, tinham o mesmo preço.
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo
de descobrir o preço de cada livro ou caderno com as
informações que temos? Será visto mais à frente.
Um sistema de equação do primeiro grau com duas
incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado
por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação
do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão
elevadas à potência 1.
- Observações gerais
Já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas
incógnitas, como exemplo: x + y = 7; x – y = 30 ; x + 2y = 9 x –
3y = 15
Foi visto também que as equações do 1º grau com duas
variáveis admitem infinitas soluções:
x + y = 6 x – y = 7
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 23
Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é
possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, é a solução
para as duas equações.
Assim, é possível dizer que as equações
x + y = 6
x – y = 7
Formam um sistema de equações do 1º grau.
Exemplos de sistemas:
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou
neste caso para indicar que duas ou mais equações formam um
sistema.
- Resolução de sistemas
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores
das incógnitas x e y que faça verdadeira as equações que fazem
parte do sistema.
Exemplos:
a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistema
x – y = 2
x + y = 6
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta
substituir os valores em ambas as equações:
x - y = 2 ; x + y = 6
4 – 3 = 1 ; 4 + 3 = 7
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso)
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do
sistema de equações acima.
b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema
x – y = 2
x + y = 8
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta
substituir os valores em ambas as equações:
x – y = 2 ; x + y = 8
5 – 3 = 2 ; 5 + 3 = 8
2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro)
A resposta então é verdadeira. O par (5, 3) é a solução do
sistema de equações acima.
- Métodos para solução de sistemas do 1º grau.
Método de substituição
Esse método de resolução de um sistema de 1º grau
estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir
esse valor na outra equação.
Observe:
x – y = 2
x + y = 4
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de
uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com
a outra incógnita, desta forma:
x – y = 2 → x = 2 + y
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da
segunda equação do sistema:
x + y = 4
(2 + y ) + y = 4
2 + 2y = 4 → 2y = 4 – 2 → 2y = 2 → y = 1
Temos que: x = 2 + y, então
x = 2 + 1
x = 3
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do
sistema.
Método da adição
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste
apenas em somas os termos das equações fornecidas.
Observe:
x – y = - 2
3x + y = 5
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:
x – y = -2
3x + y = 5 +
4x = 3
x = 3/4
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações
o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos
achar o valor de “x”.
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os
valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma
incógnita?
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de
multiplicação pelo valor excludente negativo.
Ex.:
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
Ao somarmos os termos acima, temos:
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o
valor de “y”, fazemos o seguinte:
» multiplica-se a 1ª equação por +2
» multiplica-se a 2ª equação por – 3
Vamos calcular então:
3x + 2y = 4 ( x +2)
2x + 3y = 1 ( x -3)
6x +4y = 8
-6x - 9y = -3 +
-5y = 5
y = -1
Substituindo:
2x + 3y = 1
2x + 3.(-1) = 1
2x = 1 + 3
x = 2
Verificando:
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1
- Gráfico de um sistema do 1º grau
Dispondo de dois pontos, podemos representa-los
graficamente em um plano cartesiano. A figura formada por
esses pontos é uma reta.
Exemplo:
Dado x + y = 4 , vamos traçar o gráfico desta equação.
Vamos atribuir valores a x e a y para acharmos os pontos no
gráfico.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 24
Unindo os pontos traçamos a reta, que contém todos os
pontos da equação. A essa reta damos o nome de reta suporte.
Questões
01. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Em uma gincana entre
as três equipes de uma escola (amarela, vermelha e branca),
foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe
amarela arrecadou 50 quilogramas a mais que a equipe
vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a
equipe branca. A quantidade de alimentos arrecadada pela
equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a
(A) 310
(B) 320
(C) 330
(D) 350
(E) 370
02. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Os
cidadãos que aderem voluntariamente à Campanha Nacional
de Desarmamento recebem valores de indenização entre
R$150,00 e R$450,00 de acordo com o tipo e calibre do
armamento. Em uma determinada semana, a campanha
arrecadou 30 armas e pagou indenizações somente de
R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00.
Determine o total de indenizações pagas no valor de
R$150,00.
(A) 20
(B) 25
(C) 22
(D) 24
(E) 18
03. (PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – ORIENTADOR
SOCIAL – IDECAN) A razão entre a idade de Cláudio e seu
irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade
de Marcos que é igual a diferença entre a idade de Cláudio e a
idade de Otávio é
(A) 12.
(B) 13.
(C) 14.
(D) 15.
(E) 16.
Respostas
01. Resposta: E.
Amarela: x
Vermelha: y
Branca: z
x = y + 50
y = z - 30
z = y + 30
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040
𝑥 = 𝑦 + 50
𝑧 = 𝑦 + 30
Substituindo a II e a III equação na I:
𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040
3𝑦 = 1040 − 80
y = 320
Substituindo na equação II
x = 320 + 50 = 370
z=320+30=350
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg
02. Resposta: A.
Armas de R$150,00: x
Armas de R$450,00: y
{
150𝑥 + 450𝑦 = 7500
𝑥 + 𝑦 = 30
x = 30 – y
Substituindo na 1ª equação:
150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500
4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500
300𝑦 = 3000
𝑦 = 10
𝑥 = 30 − 10 = 20
O total de indenizações foi de 20.
03. Resposta: C.
Cláudio :x
Otávio: y
𝑥
𝑦
= 3
{
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 28
𝑥 + 𝑦 = 28
3y + y = 28
4y = 28
y = 7 x = 21
Marcos: x – y = 21 – 7 = 14
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL E NÃO DECIMAL
Sistema de Medidas Decimais
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de
medida que mantém algumas relações entre si. O sistema
métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo
todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de
comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o
metro, porque dele derivam as demais.
10. Sistema métrico: medidas de
tempo, comprimento, superfície
e capacidade.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 25
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm
uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada
unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.
Por isso, o sistema é chamado decimal.
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na
prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular
de litro.
As unidades de área do sistema métrico correspondem às
unidades de comprimento da tabela anterior.
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro
quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o
quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro
quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o
nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 há.
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma
unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como
nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema
continua decimal, porque 100 = 102.
Existem outras unidades de medida mas que não
pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as relações
entre algumas essas unidades e as do sistema métrico
decimal (valores aproximados):
1 polegada = 25 milímetros
1 milha = 1 609 metros
1 légua = 5 555 metros
1 pé = 30 centímetros
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento
acrescidas de quadrado.
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a
lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc.
Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o
centímetro cúbico(cm3).
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade
vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103,
o sistema continua sendo decimal.
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o
volume da água que enche um tanque é de 7.000 litros,
dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade
fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a
1 dm3.
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de
medidas de massa. A unidade fundamental é o grama(g).
Unidades de Massa e suas Transformações
Nomenclatura:
Kg – Quilograma
hg – hectograma
dag – decagrama
g – grama
dg – decigrama
cg – centigrama
mg – miligrama
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama
e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t).
Medidas Especiais:
1 Tonelada(t) = 1000 Kg
1 Arroba = 15 Kg
1 Quilate = 0,2 g
Relações entre unidades:
Temos que:
1 kg = 1l = 1 dm3
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2
1 m3 = 1000 l
Questões
01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo
– VUNESP) O suco existente em uma jarra preenchia
3
4
da sua
capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de
suco restante na jarra passou a preencher
1
5
da sua capacidade
total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é
correto afirmar que a quantidade de suco adicionada foi igual,
em mililitros, a
(A) 580.
(B) 720.
(C) 900.
(D) 660.
(E) 840.
02. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma
casa há um filtro de barro que contém, no início da manhã, 4
litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o
preparo da comida e meio litro para consumo próprio. No
início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse
filtro e, até o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para
consumo próprio. Em relação à quantidade de água que havia
no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 26
restou dentro dele, no final do dia, corresponde a uma
porcentagem de
(A) 60%.
(B) 55%.
(C) 50%.
(D) 45%.
(E) 40%.
03. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST)
Admita que cada pessoa use, semanalmente, 4 bolsas plásticas
para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de
3 g de plástico. Em um país com 200 milhões de pessoas,
quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado
por 52 semanas. Indique o valor mais próximo do obtido.
(A) 108 toneladas
(B) 107 toneladas
(C) 106 toneladas
(D) 105 toneladas
(E) 104 toneladas
Respostas
01. Resposta: B.
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim:
3
4
. 𝑥 − 495 =
1
5
. 𝑥
3
4
. 𝑥 −
1
5
. 𝑥 = 495
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495
20
15x – 4x = 9900
11x = 9900
x = 9900 / 11
x = 900 mL (capacidade total)
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade
adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL
02. Resposta: B.
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500
ml
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia)
Utilizaremos uma regra de três simples:
ml %
4000 ------- 100
2200 ------- x
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55%
03. Resposta: D.
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t
Não Decimais
Medidas de Tempo (Hora) e suas Transformações
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede
intervalos de tempo, é o mais conhecido. A unidade utilizada
como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
1h → 60 minutos → 3 600 segundos
Para passar de uma unidade para a menor seguinte,
multiplica-se por 60.
Exemplo:
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos, quantos
minutos indica 0,3 horas?
Efetuando temos: 0,3 . 60 = 1. x → x = 18 minutos.
Concluímos que 0,3horas = 18 minutos.
- Adição e Subtração de Medida de tempo
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo,
precisamos estar atentos as unidades. Vejamos os exemplos:
A) 1 h 50 min + 30 min
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como
sabemos que 1 hora tem 60 minutos, temos, então
acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos,
é o que resta nos minutos:
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min.
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min,
então devemos passar uma hora (+1) dos 2 para a coluna
minutos.
Então teremos novos valores para fazermos nossa
subtração, 20 + 60 = 80:
Logo o valor encontrado é de 50 min.
Questões
01. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM
SAÚDE NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 minutos para
resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25
minutos para resolver a mesma prova. Comparando o tempo
das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada?
(A) 67 minutos.
(B) 75 minutos.
(C) 88 minutos.
(D) 91 minutos.
(E) 94 minutos.
02. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral –
VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, aproximado, que
um professor leva para elaborar cada questão de matemática.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 27
Questão (dificuldade) Tempo (minutos)
Fácil 8
Média 10
Difícil 15
Muito difícil 20
O gráfico a seguir mostra o número de questões de
matemática que ele elaborou.
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões
foi
(A) 4h e 48min.
(B) 5h e 12min.
(C) 5h e 28min.
(D) 5h e 42min.
(E) 6h e 08min.
03. (CEFET – Auxiliar em Administração –
CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um pintor
precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr.
Luís utiliza uma tinta de secagem rápida, que permite que a
segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao
terminar a aplicação da primeira demão nas paredes de uma
sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser aplicada a
partir das 15h 40min.”
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15
minutos, que horas eram quando Sr. Luís iniciou o serviço?
(A) 12h 25 min
(B) 12h 35 min
(C) 12h 45 min
(D) 13h 15 min
(E) 13h 25 min
Respostas
01. Resposta: C.
Como 1h tem 60 minutos.
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos.
02. Resposta: D.
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 =
= 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto)
03. Resposta: B.
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min
Medidas de Ângulos e suas Transformações
Para medir ângulos, também temos um sistema não
decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia,
na cartografia e na navegação são necessárias medidas
inferiores a 1º. Temos, então:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os
mesmos do sistema de tempo – hora, minuto e segundo. Há
uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os
indicam são diferentes:
1h 32min 24s é um intervalo de tempo ou um instante
do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto –
segundo são similares a cálculos no sistema grau – minuto –
segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas
distintas.
UNIDADES DE MEDIDA – VELOCIDADE
A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o
deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode
ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo
se desloca.
Segundo o S.I (Sistema Internacional de medidas) as
unidades mais utilizadas para se medir a velocidade é Km/h
(Quilômetro por hora) e o m/s (metro por segundo).
Quando ouvimos que carro se desloca a uma velocidade de
20 km/h, isto significa que ele percorre 20 km em 1 hora.
Muitas questões pedem para que passemos de km/h para
m/s, para efetuarmos essa transformação, basta utilizarmos o
que segue na figura abaixo:
Exemplo:
Um carro se desloca de Florianópolis – SC a Curitiba – PR.
Sabendo que a distância entre as duas cidades é de 300 km e
que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia,
calcule a velocidade média do carro durante a viagem, em m/s.
A velocidade média é dada por:
𝑉𝑚 =
Δ𝑆
Δ𝑡
=
Δ𝑆𝑓 − Δ𝑆𝑖
Δ𝑡𝑓 − Δ𝑡𝑖
Ou seja, a variação da distância ΔS (final menos inicial)
dividido por Δt, variação do tempo (final menos inicial).
Montando de acordo com as informações do enunciado
temos:
ΔS = 300 Km
Δt = 12 – 7 = 5 horas de percurso.
Então:
𝑉𝑚 =
300
5
= 60𝑘𝑚/ℎ
Transformando para m/s teremos apenas que dividir por
3,6:
60 : 3,6 = 16,67 m/s
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 28
RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS
Grandeza é tudo aquilo que pode ser contado e medido. Do
dicionário, tudo o que pode aumentar ou diminuir (medida de
grandeza.).
As grandezas proporcionais são aquelas que relacionadas
a outras, sofrem variações. Elas podem ser diretamente ou
inversamente proporcionais.
Exemplos:
1 - Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta
dois tanques e meio de óleo diesel. Se a distância entre a
cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz
100 km com 25 litros de óleo diesel, quantos litros de óleo
diesel cabem no tanque da picape?
A) 60
B) 50
C) 40
D) 70
E) 80
Observe que há uma relação entre as grandezas distância
(km) e óleo diesel (litros). Equacionando temos:
100 km ------- 25 litros
500 km ------- x litros
Resolvendo:
100
500
=
25
𝑥
→ 100. 𝑥
= 500.25
100x = 12500 → x =
12500/100 → x = 125
Este valor representa a quantidade em litros gasta para ir
da cidade A à B. Como sabemos que ele gasta 2,5 tanques
para completar esse percurso, vamos encontrar o valor que
cabe em 1 tanque:
2,5 tanques ------ 125 litros
1 tanque ------- x litros
2,5x = 1.125 → x = 125/2,5 → x = 50 litros.
Logo 1 tanque dessa picape cabe 50 litros , a resposta
correta esta na alternativa B.
2 – A tabela a seguir mostra a velocidade de um trem ao
percorrer determinado percurso:
Velocidade
(km/h)
40 80 120 ...
Tempo (horas) 6 3 2 ...
Se sua velocidade aumentar para 240 km/h, em quantas
horas ele fará o percurso?
Podemos pegar qualquer velocidade para acharmos o
novo tempo:
40 km ------ 6 horas
240 km ----- x horas
40
240
=
𝑥
6
→ 240𝑥 = 40.6 → 240𝑥 = 240 → 𝑥 = 1
∴ 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑟á 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑒𝑚 1 ℎ𝑜𝑟𝑎.
Observe que invertemos os valores de uma das duas
proporções (km ou tempo), neste exemplo optamos por
inverter a grandeza tempo.
- Grandezas diretamente proporcionais (GDP)
São aquelas em que, uma delas variando, a outra varia na
mesma razão da outra. Isto é, duas grandezas são
diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a
outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também
triplica, divididas à terça parte a outra também é dividida à
terça parte... E assim por diante.
Matematicamente podemos escrever da seguinte forma:
𝒂𝟏
𝒃𝟏
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐
=
𝒂𝟑
𝒃𝟑
= ⋯ = 𝒌
Onde a grandeza A ={a1,a2,a3...} , a grandeza B=
{b1,b2,b3...} e os valores entre suas razões são iguais a k
(constante de proporcionalidade).
Exemplos:
1 - Uma faculdade irá inaugurar um novo espaço para sua
biblioteca, composto por três salões. Estima-se que, nesse
espaço, poderão ser armazenados até 120.000 livros, sendo
60.000 no salão maior, 15.000 no menor e os demais no
intermediário. Como a faculdade conta atualmente com
apenas 44.000 livros, a bibliotecária decidiu colocar, em cada
salão, uma quantidade de livros diretamente proporcional à
respectiva capacidade máxima de armazenamento.
Considerando a estimativa feita, a quantidade de livros que a
bibliotecária colocará no salão intermediário é igual a
A) 17.000.
B) 17.500.
C) 16.500.
D) 18.500.
E) 18.000.
Como é diretamente proporcional, podemos analisar da
seguinte forma:
No salão maior, percebe-se que é a metade dos livros, no
salão menor é 1/8 dos livros.
Então, como tem 44.000 livros, o salão maior ficará com
22.000 e o salão menor com 5.500 livros.
22000+5500=27500
Salão intermediário:44.000-27.500=16.500 livros.
Resposta C
2 - Um mosaico foi construído com triângulos, quadrados
e hexágonos. A quantidade de polígonos de cada tipo é
proporcional ao número de lados do próprio polígono. Sabe-se
que a quantidade total de polígonos do mosaico é 351. A
quantidade de triângulos e quadrados somada supera a
quantidade de hexágonos em
A) 108.
B) 27.
C) 35.
D) 162.
E) 81.
𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠: 3𝑥
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜: 4𝑥
ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜: 6𝑥
3𝑥 + 4𝑥 + 6𝑥 = 351
13𝑥 = 351
𝑥 = 27
3𝑥 + 4𝑥 = 3.27 + 4.27 = 81 + 108 = 189
6𝑥 = 6.27 = 162 → 189-162= 27
11. Relação entre grandezas:
tabelas e gráficos.
Observe que:
Se aumentarmos a velocidade, diminuímos de forma
proporcional ao tempo. Logo as grandezas são
inversamente proporcionais.
Observe que:
Se aumentarmos a Km
aumentaremos também
a quantidade de litros
gastos. Logo as
grandezas são
diretamente
proporcionais.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 29
Resposta B
- Grandezas inversamente proporcionais (GIP)
São aquelas quando, variando uma delas, a outra varia na
razão inversa da outra. Isto é, duas grandezas são
inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a
outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se
reduz para à terça parte... E assim por diante.
Matematicamente podemos escrever da seguinte forma:
𝒂𝟏. 𝒃𝟏 = 𝒂𝟐. 𝒃𝟐 = 𝒂𝟑. 𝒃𝟑 = ⋯ = 𝒌
Uma grandeza A ={a1,a2,a3...} será inversamente a outra
B= {b1,b2,b3...} , se e somente se, os produtos entre os
valores de A e B são iguais.
Exemplos:
1 - Carlos dividirá R$ 8.400,00 de forma inversamente
proporcional à idade de seus dois filhos: Marcos, de12 anos, e
Fábio, de 9 anos. O valor que caberá a Fábio será de:
A) R$ 3.600,00
B) R$ 4.800,00
C) R$ 7.000,00
D) R$ 5.600,00
Marcos: a
Fábio: b
a + b = 8400
𝑎
1
12
+
𝑏
1
9
=
𝑎 + 𝑏
1
12
+
1
9
𝑏
1
9
=
8400
3
36
+
4
36
7
36
𝑏 =
8400
9
→ 𝑏 =
8400
9
7
36
→ 𝑏 =
8400
9
.
36
7
→ 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
1200
1
.
4
1
= 4800
Resposta B
2 - Três técnicos judiciários arquivaram um total de 382
processos, em quantidades inversamente proporcionais as
suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é
correto afirmar que o número de processos arquivados pelo
mais velho foi:
A) 112
B) 126
C) 144
D) 152
E) 164
382 Somamos os inversos dos números, ou seja:
1
28
+
1
32
+
1
36
. Dividindo-se os denominadores por 4, ficamos com:
1
7
+
1
8
+
1
9
=
72+63+53
504
=
191
504
. Eliminando-se os denominadores,
temos 191 que corresponde a uma soma. Dividindo-se a soma
pela soma:
382 / 191 = 2.56 = 112
Questões
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo
– FCC) Na tabela abaixo, a sequência de números da coluna A
é inversamente proporcional à sequência de números da
coluna B.
A letra X representa o número
(A) 90.
(B) 80.
(C) 96.
(D) 84.
(E) 72.
02. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Um pintor
gastou duas horas para pintar um quadrado com 1,5 m de lado.
Quanto tempo ele gastaria, se o mesmo quadrado tivesse 3 m
de lado?
(A) 4 h
(B) 5 h
(C) 6 h
(D) 8 h
(E) 10 h
03 . (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) A
tabela, com dados relativos à cidade de São Paulo, compara o
número de veículos da frota, o número de radares e o valor
total, em reais, arrecadado com multas de trânsito, relativos
aos anos de 2004 e 2013:
Ano Frota Radares Arrecadação
2004 5,8
milhões
260 328 milhões
2013 7,5
milhões
601 850 milhões
(Veja São Paulo, 16.04.2014)
Se o número de radares e o valor da arrecadação tivessem
crescido de forma diretamente proporcional ao crescimento
da frota de veículos no período considerado, então em 2013 a
quantidade de radares e o valor aproximado da arrecadação,
em milhões de reais (desconsiderando-se correções
monetárias), seriam, respectivamente,
(A) 336 e 424.
(B) 336 e 426.
(C) 334 e 428.
(D) 334 e 430.
(E) 330 e 432.
*Se uma grandeza aumenta e a outra também
, elas são diretamente proporcionais.
*Se uma grandeza diminui e a outra também
, elas também são diretamente proporcionais.
*Se uma grandeza aumenta e a outra diminui
, elas são inversamente proporcionais.
*Se uma grandeza diminui e a outra aumenta
, elas também são inversamente proporcionais.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 30
Respostas
01. Resposta: B.
16
1
60
=
12
1
𝑋
16 ∙ 60 = 12 ∙ 𝑋
X=80
02. Resposta: D.
Como a medida do lado dobrou (1,5 . 2 = 3), o tempo
também vai dobrar (2 . 2 = 4), mas, como se trata de área, o
valor vai dobrar de novo (2 . 4 = 8h).
03. Resposta: A.
Chamando os radares de 2013 de ( x ), temos que:
5,8
7,5
=
260
𝑥
5,8 . x = 7,5 . 260
x = 1950 / 5,8
x = 336,2 (aproximado)
Por fim, vamos calcular a arrecadação em 2013:
5,8
7,5
=
328
𝑥
5,8 . x = 7,5 . 328
x = 2460 / 5,8
x = 424,1 (aproximado)
Referências
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 –
Financeira e Estatística Descritiva
http://www.brasilescola.com
http://www.dicio.com.br
TABELAS E GRÁFICOS
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas
informações, sendo muito delas expressas em formas de
tabelas e gráficos, as quais constatamos através do noticiários
televisivos, jornais, revistas, entre outros. Os gráficos e tabelas
fazem parte da linguagem universal da Matemática, e
compreensão desses elementos é fundamental para a leitura
de informações e análise de dados.
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados
numéricos e a partir deles fornecer conclusões é chamada de
Estatística.
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas
e colunas, possibilitando uma melhor leitura e interpretação.
Exemplo:
Fonte: SEBRAE
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que
a um título e uma fonte. O título é utilizado para evidenciar a
principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde
os dados foram obtidos.
Tipos de Gráficos
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para
representar a variação de uma grandeza em certo período de
tempo.
Marcamos os pontos determinados pelos pares
ordenados (classe, frequência) e os ligados por segmentos de
reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos
segmentos de reta que compõem a linha oferecem
informações sobre o comportamento da amostra. Exemplo:
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de
colunas, são utilizados, em geral, quando há uma grande
quantidade de dados. Para facilitar a leitura, em alguns casos,
os dados numéricos podem ser colocados acima das colunas
correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: barras
verticais e horizontais.
- Gráfico de barras verticais: as frequências são
indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos
determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os
ligamos ao eixo das classes por meio de barras verticais.
Exemplo:
- Gráfico de barras horizontais: as frequências são
indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os pontos
determinados pelo pares ordenados (frequência, classe) e os
ligamos ao eixo das classes por meio de barras horizontais.
Exemplo:
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 31
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve
ser proporcional à informação por ela representada.
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para
visualizar a relação entre as partes e o todo.
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de
medidas diretamente proporcionais às frequências de classes.
A medida α, em grau, do ângulo central que corresponde a
uma classe de frequência F é dada por:
𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹
Onde:
Ft = frequência total
Exemplo:
Preferência por modalidades esportivas
Esportes
Número de
praticantes (F)
Frequência
relativa
Futebol 160 40%
Vôlei 120 30%
Basquete 60 15%
Natação 40 10%
Outros 20 5%
Total (Ft) 400 100%
Dados fictícios
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma
regra de três simples:
400 --- 100%
160 --- x
x = 160 .100/ 400 = 40% , e assim sucessivamente.
Aplicando a fórmula teremos:
−𝐹𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 160 → 𝛼 = 144°
−𝑉ô𝑙𝑒𝑖: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 120 → 𝛼 = 108°
−𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 60 → 𝛼 = 54°
−𝑁𝑎𝑡𝑎çã𝑜: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 20 → 𝛼 = 18°
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão
distribuídos levando-se em conta a proporção da área a ser
representada relacionada aos valores das porcentagens. A
área representativa no gráfico será demarcada da seguinte
maneira:
Com as informações, traçamos os ângulos da
circunferência e assim montamos o gráfico:
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos,
certos gráficos, encontrados em jornais, revistas e outros
meios de comunicação, apresentam imagens relacionadas ao
contexto. Eles são desenhos ilustrativos. Exemplo:
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base
nas faixas de valores da variável e com área igual à frequência
relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada
retângulo é denominada densidade de frequência ou
simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela
amplitude da faixa. Alguns autores utilizam a frequência
absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que
pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más
interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas
nas faixas. Exemplo:
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas
construído a partir dos pontos médios das classes. Exemplo:
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 32
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de
frequências acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente
utilizando os pontos extremos.
Cartograma: é uma representação sobre uma carta
geográfica. Este gráfico é empregado quando o objetivo é de
figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com
áreas geográficas ou políticas.
Interpretação de tabelas e gráficos
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos
devemos ter em mente algumas considerações:
- Observar primeiramente quais informações/dados estão
presentes nos eixos vertical e horizontal, para então fazer a
leitura adequada do gráfico;
- Fazer a leitura isolada dos pontos.
- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que
pede o enunciado.
Exemplos:
(Enem 2011) O termo agronegócio não se refere apenas
à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa
produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços
para a zona rural, industrialização e comercialização dos
produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do
agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA).
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador
ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB
brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em
termos percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os
anos de
A) 1998 e 2001.
B) 2001 e 2003.
C) 2003 e 2006.
D) 2003 e 2007.
E) 2003 e 2008.
Resolução:
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de
queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu
no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída
através de leitura direta do gráfico: em 2003 a participação era
de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005,
chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a
participação volta a aumentar.
Resposta: C
(Enem 2012) O gráfico mostra a variação da extensão
média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros
quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000,
2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a
setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina
o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o
sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz
solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua
vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico,
ocasionando derretimento crescente do gelo.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 33
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível
inferir que houve maior aquecimento global em
A)1995.
B)1998.
C) 2000.
D)2005.
E)2007.
Resolução:
O enunciado nos traz uma informação bastante importante
e interessante, sendo chave para a resolução da questão. Ele
associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar
e consequentemente ao resfriamento da Terra. Logo, quanto
menor for a extensão de gelo marítimo, menor será o
resfriamento e portanto maior será o aquecimento global.
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão
de gelo marítimo, é 2007.
Resposta: E
Mais alguns exemplos:
1) Todos os objetos estão cheios de água.
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água?
(A) A caneca
(B) A jarra
(C) O garrafão
(D) O tambor
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia
a dia e conhecer unidades de medida, no caso, o litro. Preste
atenção na palavra exatamente, logo a resposta está na
alternativa B.
2) No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões
de reais, a arrecadação de impostos federais no período de
2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos
federais:
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais.
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais.
(C) manteve-se constante nos quatro anos.
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos.
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais.
Analisando cada alternativa temos que a única resposta
correta é a D.
Questões
01. (Pref. Fortaleza/CE – Pedagogia – Pref.
Fortaleza/2016) “Estar alfabetizado, neste final de século,
supõe saber ler e interpretar dados apresentados de maneira
organizada e construir representações, para formular e
resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e
a análise de informações. Essa característica da vida
contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda
em abordar elementos da estatística, da combinatória e da
probabilidade, desde os ciclos iniciais” (BRASIL, 1997).
Observe os gráficos e analise as informações.
A partir das informações contidas nos gráficos, é correto
afirmar que:
(A) nos dias 03 e 14 choveu a mesma quantidade em
Fortaleza e Florianópolis.
(B) a quantidade de chuva acumulada no mês de março foi
maior em Fortaleza.
(C) Fortaleza teve mais dias em que choveu do que
Florianópolis.
(D) choveu a mesma quantidade em Fortaleza e
Florianópolis.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 34
02. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal –
CESPE/2015)
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen,
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro,
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações)
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos
no sistema penitenciário brasileiro por região em 2013.
Nesse ano, o déficit relativo de vagas — que se define pela
razão entre o déficit de vagas no sistema penitenciário e a
quantidade de detentos no sistema penitenciário —
registrado em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na
média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil
habitantes.
Com base nessas informações e na tabela apresentada,
julgue o item a seguir.
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no
Brasil se encontrava na região Sudeste.
( )certo ( ) errado
03. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP/2015)
A distribuição de salários de uma empresa com 30
funcionários é dada na tabela seguinte.
Salário (em salários
mínimos)
Funcionários
1,8 10
2,5 8
3,0 5
5,0 4
8,0 2
15,0 1
Pode-se concluir que
(A) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários.
(B) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3
salários.
(C) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários.
(D) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda
total.
(E) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda
total.
04. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP/2015)
Considere a tabela de distribuição de frequência seguinte,
em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta
dos dados.
xi fi
30-35 4
35-40 12
40-45 10
45-50 8
50-55 6
TOTAL 40
Assinale a alternativa em que o histograma é o que
melhor representa a distribuição de frequência da tabela.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
05. (SEJUS/ES – Agente Penitenciário –
VUNESP/2013) Observe os gráficos e analise as
afirmações I, II e III.
I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em
cursos tecnológicos, comparado com 2001, foi maior que
1000%.
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em
cursos tecnológicos que no ano anterior.
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas
no curso tecnológico presencial e à distância foi de 2 para
5.
É correto o que se afirma em
(A) I e II, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I, apenas.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 35
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
06. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal –
CESPE/2015)
A partir das informações e do gráfico apresentados,
julgue o item que se segue.
Se os percentuais forem representados por barras
verticais, conforme o gráfico a seguir, então o resultado
será denominado histograma.
( ) Certo ( ) Errado
Respostas
01. Resposta: C.
A única alternativa que contém a informação correta com
ao gráficos é a C.
02. Resposta: CERTO.
555----100%
306----x
X=55,13%
03. Resposta: D.
(A) 1,8*10+2,5*8+3,0*5+5,0*4+8,0*2+15,0*1=104
salários
(B) 60% de 30, seriam 18 funcionários, portanto essa
alternativa é errada, pois seriam 12.
(C)10% são 3 funcionários
(D) 40% de 104 seria 41,6
20% dos funcionários seriam 6, alternativa correta,
pois5*3+8*2+15*1=46, que já é maior.
(E) 6 dos trabalhadores: 18
30% da renda: 31,20, errada pois detêm mais.
04. Resposta: A.
A menor deve ser a da primeira 30-35
Em seguida, a de 55
Depois de 45-50 na ordem 40-45 e 35-40
05. Resposta: E.
I- 69,8------100%
781,6----x
X=1119,77
II- 781,6-680,7=100,9
III-
10
25
=
2
5
06. Resposta: ERRADO.
Como foi visto na teoria, há uma faixa de valores no eixo x
e não simplesmente um dado.
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana.
Exemplo:
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm
Perímetros de algumas das figuras planas:
Área é a medida da superfície de uma figura plana.
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é,
uma superfície correspondente a um quadrado que tem 1 m de
lado.
Fórmulas de área das principais figuras planas:
1) Retângulo
- sendo b a base e h a altura:
12. Noções de geometria: forma,
perímetro, área, volume,
teorema de Pitágoras.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 36
2. Paralelogramo
- sendo b a base e h a altura:
3. Trapézio
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura:
4. Losango
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor:
5. Quadrado
- sendo l o lado:
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área,
dependendo dos dados do problema a ser resolvido.
I) sendo dados a base b e a altura h:
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c:
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo
formado entre eles:
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais):
V) circunferência inscrita:
VI) circunferência circunscrita:
Questões
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é,
em cm2, igual a:
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
(E) 16
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC)
Corta-se um arame de 30 metros em duas partes. Com cada
uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das
áreas dos dois quadrados, assim construídos, então o menor
valor possível para S é obtido quando:
(A) o arame é cortado em duas partes iguais.
(B) uma parte é o dobro da outra.
(C) uma parte é o triplo da outra.
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento.
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande
terreno foi dividido em 6 lotes retangulares congruentes,
conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em
metros.
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado
em negrito na figura, mede x + 285, conclui-se que a área total
desse terreno é, em m2, igual a:
(A) 2 400.
(B) 2 600.
(C) 2 800.
(D) 3000.
(E) 3 200.
Respostas
01.Resposta: C.
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal:
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 37
Utilizando o Teorema de Pitágoras:
d2 = l2 + l2
(2√7)
2
= 2l2
4.7 = 2l2
2l2 = 28
l2 =
28
2
A = 14 cm2
02. Resposta: A.
- um quadrado terá perímetro x
o lado será l =
x
4
e o outro quadrado terá perímetro 30 – x
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado
é dada por S = l2, temos:
S = S1 + S2
S=l²+l1²
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16:
S =
x2 + 302 − 2.30. x + x2
16
S =
x2 + 900 − 60x + x2
16
S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
,
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16
e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice que e dado pela
fórmula: x =
−b
2a
, então:
xv =
− (
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15,
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15.
03. Resposta: D.
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados
medindo x e 0,8x:
Perímetro = x + 285
8.0,8x + 6x = x + 285
6,4x + 6x – x = 285
11,4x = 285
x = 285:11,4
x = 25
Sendo S a área do retângulo:
S= b.h
S= 0,8x.x
S = 0,8x2
Sendo St a área total da figura:
St = 6.0,8x2
St = 4,8.252
St = 4,8.625
St = 3000
total =4x 4x=16x²=1616=256 m²
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES
I- Círculo:
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o
matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de Siracusa,
mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele
concluiu que quanto mais lados tem um polígono regular mais
ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste
polígono tende ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um
polígono regular é dada por A = p.a (onde p é semiperímetro e
a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então
temos:
II- Coroa circular:
É uma região compreendida entre dois círculos
concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa circular é
igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo
menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos o 𝜋 como fator comum,
podemos colocá-lo em evidência, então temos:
III- Setor circular:
É uma região compreendida entre dois raios distintos de
um círculo. O setor circular tem como elementos principais o
raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então
temos duas fórmulas:
IV- Segmento circular:
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda
(segmento que une dois pontos de uma circunferência) deste
círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos
que subtrair a área de um triângulo da área de um setor
circular, então temos:
Questões
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A
figura abaixo mostra três círculos, cada um com 10 cm de
raio, tangentes entre si.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 38
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área
sombreada, em cm2, é:
(A) 320.
(B) 330.
(C) 340.
(D) 350.
(E) 360.
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em
Contabilidade – FUMARC) A área de um círculo, cuja
circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é:
(A) 100𝜋 cm2.
(B) 80 𝜋 cm2.
(C) 160 𝜋 cm2.
(D) 400 𝜋 cm2.
03. (Petrobrás - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO)
Quatro tanques de armazenamento de óleo, cilíndricos e
iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de
comprimento por 20,0 m de largura, como representados na
figura abaixo.
Se as bases dos quatro tanques ocupam
2
5
da área
retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base de cada
tanque?
Dado: use 𝜋=3,1
(A) 2.
(B) 4.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 16.
Respostas
01. Resposta: B.
Unindo os centros das três circunferências temos um
triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 20 cm. Então
a área a ser calculada será:
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330
02. Resposta: A.
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C =
2π.r, Então:
C = 20π
2π.r = 20π
r =
20π
2π
r = 10 cm
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2
03. Resposta: D.
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h)
Aret = 24,8.20
Aret = 496 m2
4.Acirc =
2
5
.Aret
4.πr2 =
2
5
.496
4.3,1.r2 =
992
5
12,4.r2 = 198,4
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4
d = 2r =2.4 = 8
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Sólidos Geométricos são figuras geométricas que possui
três dimensões. Um sólido é limitado por um ou mais planos.
Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e
esfera.
- Principio de Cavalieri
Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano,
discípulo de Galileu, que criou um método capaz de determinar
áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado
princípio de Cavalieri. Este princípio consiste em estabelecer
que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as
secções planas de iguais altura possuírem a mesma área.
Vejamos:
Suponhamos a existência de uma coleção de chapas
retangulares (paralelepípedos retângulos) de mesmas
dimensões, e consequentemente, de mesmo volume.
Imaginemos ainda a formação de dois sólidos com essa coleção
de chapas.
Tanto em A como em B, a parte do espaço ocupado, ou seja,
o volume ocupado, pela coleção de chapas é o mesmo, isto é, os
sólidos A e B tem o mesmo volume.
Mas se imaginarmos esses sólidos com base num mesmo
plano α e situados num mesmo semi espaço dos determinados
por α.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 39
Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α,
determina em A e em B superfícies de áreas iguais (superfícies
equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas
pilhas com igual número de moedas congruentes.
Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a
um dado plano, determina superfícies de áreas iguais
(superfícies equivalentes), são sólidos de volumes iguais
(sólidos equivalentes).
A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica na
colocação dos sólidos com base num mesmo plano, paralelo ao
qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a
congruência)
- Sólidos geométricos
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases
iguais e paralelas.
Elementos de um prisma:
a) Base: pode ser qualquer polígono.
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as
bases.
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo.
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as
faces laterais.
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas.
f) Altura: distância entre as duas bases.
Classificação:
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras:
1- Quanto à base:
- Prisma triangular...........................................................a base é
um triângulo.
- Prisma quadrangular.....................................................a base é
um quadrilátero.
- Prisma pentagonal........................................................a base é um
pentágono.
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um
hexágono.
E, assim por diante.
2- Quanta à inclinação:
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um
ângulo reto (90°).
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um
ângulo diferente de 90°.
Fórmulas:
- Área da Base
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse
triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse
quadrado, e assim por diante.
- Área Lateral:
Soma das áreas das faces laterais
- Área Total:
At=Al+2Ab
- Volume:
V = Abh
Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte
e que são chamados de prismas especiais, que são:
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um
prisma que tem as seis faces retangulares.
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c =
altura.
Fórmulas:
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc)
- Volume: V = a.b.c
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6
faces quadradas.
As três dimensões de um cubo comprimento, largura e
altura são iguais.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 40
Fórmulas:
- Área Total: At = 6.a2
- Volume: V = a3
- Diagonal: D = a√3
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base
e um vértice superior.
Elementos de uma pirâmide:
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base,
arestas da base, face lateral, arestas laterais, vértice e altura.
Além destes, ela também tem um apótema lateral e um
apótema da base.
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema
da base e o apótema lateral forma um triângulo retângulo,
então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2.
Classificação:
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras:
1- Quanto à base:
- Pirâmide triangular...........................................................a base é
um triângulo.
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é
um quadrilátero.
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é
um pentágono.
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é
um hexágono.
E, assim por diante.
2- Quanta à inclinação:
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do
centro da base.
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior está deslocado em
relação ao centro da base.
Fórmulas:
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base
pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a
base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a
base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e
assim por diante.
- Área Lateral: 𝐴𝑙 =
𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠
- Área Total: At = Al + Ab
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ
- TRONCO DE PIRÂMIDE
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção
transversal numa pirâmide, como mostra a figura:
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as
arestas destacadas em vermelho.
É interessante observar que no tronco de pirâmide as
arestas laterais são congruentes entre si; as bases são
polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são
trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de
qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco.
→ Cálculo das áreas do tronco de pirâmide.
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e
base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a
base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas
observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios
isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por
exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular,
teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral.
A área total do tronco de pirâmide é dada por:
St = Sl + SB + Sb
Onde:
St → é a área total
Sl → é a área da superfície lateral
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
→ Cálculo do volume do tronco de pirâmide.
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide
é obtida fazendo a diferença entre o volume de pirâmide maior
e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que
produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das
áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do
tronco é:
Onde,
V → é o volume do tronco
h → é a altura do tronco
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases
iguais, paralelas e circulares.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 41
Elementos de um cilindro:
a) Base: é sempre um círculo.
b) Raio
c) Altura: distância entre as duas bases.
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral,
isto é, a face lateral é formada por infinitas geratrizes.
Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele
só pode ser classificado de acordo com a inclinação:
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um
ângulo reto (90°).
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo
diferente de 90°.
Fórmulas:
- Área da Base: Ab = π.r2
- Área Lateral: Al = 2.π.r.h
- Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab
- Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo
centro do cilindro. O retângulo obtido através desse corte é
chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo
a área da secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = 2r.h.
Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero
quando a secção meridiana for um quadrado, para isto temos
que: h = 2r.
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base
circular e vértice superior.
Elementos de um cone:
a) Base: é sempre um círculo.
b) Raio
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base.
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a
face lateral e formada por infinitas geratrizes.
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só
tem classificação quanto à inclinação.
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro
da base.
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em
relação ao centro da base.
Fórmulas:
- Área da base: Ab = π.r2
- Área Lateral: Al = π.r.g
- Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏. ℎ
- Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo
retângulo, então: g2 = h2 + r2.
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone.
O triângulo obtido através desse corte é chamado de secção
meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da
secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = r.h.
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero
quando a secção meridiana for um triângulo equilátero, para
isto temos que: g = 2r.
- TRONCO DE CONE
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua
base circular, a uma determinada altura, teremos a
constituição de uma nova figura geométrica espacial
denominada Tronco de Cone.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 42
Elementos
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção
transversal é a base menor;
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco.
Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas
bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa
forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do
tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a
medida da altura lateral do cone, também está presente na
composição do tronco de cone.
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de
cone com a medida da altura de sua lateral (geratriz), pois são
elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um
ângulo de 90º. No caso da geratriz os ângulos formados são um
agudo e um obtuso.
Onde:
h = altura
g = geratriz
Área da Superfície e
Volume
Exemplo:
Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A
altura referente a esse tronco é de 10 m. Determine o volume
desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14.
V) ESFERA
Elementos da esfera
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da
esfera.
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da
esfera.
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando
círculos.
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera,
determinando, assim, o maior círculo possível.
Fórmulas
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo
(r), a distância do centro ao paralelo ao centro da esfera (d) e
o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então,
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: R2 = r2 + d2.
- Área: A = 4.π.R2
- Volume: V =
4
3
. π. R3
Fuso Esférico:
Fórmula da área do fuso:
𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 =
𝛼. 𝜋. 𝑅2
90°
Cunha Esférica:
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 43
Fórmula do volume da cunha:
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
𝛼. 𝜋. 𝑅3
270°
Questões
01. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual
a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em cm2, é:
(A) 90π
(B) 100π
(C) 80π
(D) 110π
(E) 120π
02. Seja um cilindro reto de raio igual a 2 cm e altura 3 cm.
Calcular a área lateral, área total e o seu volume.
03. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual
a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse prisma é:
(A) 288√3 cm3
(B) 144√3 cm3
(C) 200√3 cm3
(D) 100√3 cm3
(E) 300√3 cm3
Respostas
01. Resposta: B.
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado
r = 5 cm.
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm
Al = 2.π.r.h
Al = 2.π.5.10
Al = 100π
02. Respostas: Al = 12π cm2, At = 20π cm2 e V = 12π cm3
Aplicação direta das fórmulas sendo r = 2 cm e h = 3 cm.
Al = 2.π.r.h At = 2π.r(h + r)
V = π.r2.h
Al = 2.π.2.3 At = 2π.2(3 + 2)
V = π.22.3
Al = 12π cm2 At = 4π.5 V =
π.4.3
At = 20π cm2
V = 12π cm2
03. Resposta: A.
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do
enunciado temos que a aresta da base é a = 4 cm e a altura h =
12 cm.
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono
regular
𝐴𝑏 =
6.𝑎2√3
4
𝐴𝑏 =
6.42√3
4
 𝐴𝑏 =
6.16√3
4
 𝐴𝑏 = 6.4√3  𝐴𝑏 = 24√3
cm2
V = 24√3.12
V = 288√3 cm3
TEOREMA DE PITÁGORAS
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de
hipotenusa e os outros dois lados são os catetos.
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
a2 = b2 + c2
Questões
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o
fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente
apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base:
uma figura Ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo
retangular, seios esferoides.
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se
encontraram no Infinito.
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me
chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – Trinta Anos de
Mim Mesmo).
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao
Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de
Hipotenusa.”
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de Hipotenusa.”
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da Hipotenusa.”
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da Hipotenusa.”
(E) Nenhuma das anteriores.
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas
para o oeste chegando a um ponto B, depois 5 milhas para o
sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste
chagando a um ponto D e finalmente 9 milhas para o norte
chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao
ponto de partida?
(A) 3 milhas a sudoeste.
(B) 3 milhas a sudeste.
(C) 4 milhas ao sul.
(D) 5 milhas ao norte.
(E) 5 milhas a nordeste.
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e
um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida do outro cateto?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14
No exemplo ao lado:
- a é a hipotenusa.
- b e c são os catetos.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 44
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a:
(A) 𝑙√2
(B) 𝑙√3
(C) 𝑙√5
(D) 𝑙√6
(E) Nenhuma das anteriores.
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m
de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A
parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade
superior encostou no solo a uma distância de 3 m da base dele,
conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o
poste?
(A) 4 m
(B) 4,5 m
(C) 5 m
(D) 5,5 m
(E) 6 m
Respostas
01. Resposta: D.
02. Resposta: E.
x2 = 32 + 42
x2 = 9 + 16
x2 = 25
x = √25 = 5
03. Resposta: C.
132 = x2 + 52
169 = x2 + 25
169 – 25 = x2
x2 = 144
x = √144 = 12 cm
04. Resposta: A.
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2
𝑑2 = 2𝑙2
𝑑 = √2𝑙2
𝑑 = 𝑙√2
05. Resposta: A.
(9 – x)2 = x2 + 33
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9
81 – 18x = 9
81 – 9 = 18x
72 = 18x
x =
72
18
x = 4 m
RACIOCÍNIO LÓGICO
Caros alunos, Raciocínio Lógico, é um conceito amplo
abordado, assim sendo, nosso conteúdo abordará tudo o
que você irá precisar, estude:
- Raciocínio Lógico (Tipos de Raciocínio);
- Conceitos Básicos;
- Raciocínio Analítico.
DEFINIÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO
Raciocínio lógico é um processo de estruturação do
pensamento de acordo com as normas da lógica que permite
chegar a uma determinada conclusão ou resolver um
problema. É aquele que se desvincula das relações entre os
objetos e procede da própria elaboração do indivíduo. Surge
através da coordenação das relações previamente criadas
entre os objetos.
Um raciocínio lógico requer consciência e capacidade de
organização do pensamento. É possível resolver problemas
usando o raciocínio lógico. No entanto, ele não pode ser
ensinado diretamente, mas pode ser desenvolvido através da
resolução de exercícios lógicos que contribuem para a
evolução de algumas habilidades mentais.
Muitas empresas utilizam exercícios de raciocínio lógico
para testarem a capacidade dos candidatos.
Raciocínio lógico matemático ou quantitativo
O raciocínio lógico matemático ou quantitativo é o
raciocínio usado para a resolução de alguns problemas e
exercícios matemáticos. Esses exercícios são
frequentemente usados no âmbito escolar, através de
problemas matriciais, geométricos e aritméticos, para que
os alunos desenvolvam determinadas aptidões. Este tipo de
raciocínio é bastante usado em áreas como a análise
combinatória.
- Raciocínio analítico (crítico) ou Lógica informal - é a
capacidade de raciocinar rapidamente através da percepção.
Em concursos exigem bastante senso crítico do candidato e
capacidade de interpretação, portanto exigem mecanismos
próprios para a resolução das questões. O raciocínio analítico
nada mais é que a avaliação de situações através de
interpretação lógica de textos.
Tipos de raciocínio
Raciocínio
verbal - consiste
Raciocínio
espacial - remete
Raciocínio
abstrato -
13. Raciocínio lógico. 14.
Resolução de situaçõesproblema.
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 45
na capacidade de
apreensão e
estruturação de
elementos
verbais,
culminando na
formação de
significados e uma
ordem e relação
entre eles.
para a aptidão para
criar e manipular
representações
mentais visuais. Está
relacionada com a
capacidade de
visualização e de
raciocinar em três
dimensões.
responsável pelo
pensamento
abstrato e a
capacidade para
determinar
ligações
abstratas entre
conceitos através
de ideias
inovadoras.
Vejamos um exemplo que roda pela internet e redes sociais, os
quais são chamados de Desafios, os mesmos envolvem o
“raciocínio” para chegarmos ao resultado:
Solução: 4 em romanos é IV e 1 em inglês é ONE, logo
juntando os dois temos: IVONE.
CONCEITOS LÓGICOS
A lógica a qual conhecemos hoje foi definida por
Aristóteles, constituindo-a como uma ciência autônoma que se
dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo,
Raciocínio, Demonstração) do ponto de vista da sua estrutura
ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material.
Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da
lógica aristotélica. Apesar dos enormes avanços da lógica,
sobretudo a partir do século XIX, a matriz aristotélica persiste
até aos nossos dias. A lógica de Aristóteles tinha objetivo
metodológico, a qual tratava de mostrar o caminho correto
para a investigação, o conhecimento e a demonstração
científica. O método científico que ele preconizava assentava
nos seguintes fases:
1. Observação de fenômenos particulares;
2. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os
mesmos obedeciam;
3. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos
particulares.
Por este e outros motivos Aristóteles é considerado o pai
da Lógica Formal.
A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica
segundo a sua estrutura ou forma. A lógica matemática
consiste em um sistema dedutivo de enunciados que tem como
objetivo criar um grupo de leis e regras para determinar a
validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado
válido se é possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir
de premissas verdadeiras.
Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está
relacionado a maneira específica de raciocinar de forma
acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver
problemas complexos que envolvem questões matemáticas, os
sequências de números, palavras, entre outros e de
desenvolver essa capacidade de chegar a validade do seu
raciocínio.
O estudo das estruturas lógicas, consiste em aprendermos
a associar determinada preposição ao conectivo
correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns
conceitos importantes para o aprendizado.
Exemplos
01. (Câmara de Aracruz/ES – Agente Administrativo e
Legislativo – IDECAN/2016) Analise a lógica envolvida nas
figuras a seguir.
A letra que substitui o sinal “?” é:
(A) O.
(B) R.
(C) T.
(D) W.
Substituindo as letras pelas posições no alfabeto:
C - 3º posição do alfabeto / E - 5º posição do alfabeto / H -
8ºposição do alfabeto
L- 12º posição do alfabeto / G- 7º posição do alfabeto / S-
19º posição do alfabeto
I - 9º posição do alfabeto / K - 11º posição do alfabeto /
Qual será a letra?
Após a substituição observamos que a 1ª letra é a diferença
das outras duas:
C (3) E (5) H (8)
L (12) G (7) S (19)
I (9) K (11) ?
8 – 5 = 3
19 – 7 = 12
? – 11 = 9 → ? = 9 + 11 → ? = 20 = T.
Resposta: C.
02. (Pref. Barbacena/MG – Advogado – FCM/2016)
Maria tem três filhos, Bianca, Celi e João, e seis netos, Ana,
André, Beth, Cláudia, Fernando e Paula. Sabe-se que:
Bianca tem três filhos(as).
Celi tem dois filhos(as).
João tem um(a) filho(a).
Cláudia não tem irmãos.
Beth é irmã de Paula.
André não tem irmãs.
Com essas informações, pode-se afirmar que Ana é
(A) filha de Celi.
(B) prima de Beth.
(C) prima de Paula.
(D) filha de Bianca.
Partindo das informações temos:
Maria
Filhos (3) Netos (6)
Bianca (3 filhos(as))
Celi (2 filhos (as))
João (1 filho (a)
Netos: André e Fernando (2)
Netas: Ana, Beth, Claudia, Paula (4)
- A resposta mais direta é a de Claudia que não tem irmãos,
logo é filha única e só pode ser filha de João.
- Depois temos que André não tem irmãs. Logo ele pode ter
irmão, como só tem 2 meninos. André e Fernando são filhos de
Celi.
- Observe que sobrou Ana, Beth e Paula que só podem ser
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APOSTILAS OPÇÃO
Matemática 46
filhas de Bianca.
Analisando as alternativas a única correta é a D.
Referências
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel –
2002.
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico
passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.
http://conceito.de/raciocinio-logico
http://www.significados.com.br/raciocinio-logico
Questões
01. "Abaixar" está para "Curvar" assim como
"Continuidade" está para:
(A) Intervalo
(B) Frequência
(C) Intermitência
(D) Interrupção
(E) Suspensão
02. Marcelo tinha 77 figurinhas e Paulo tinha 58.
Marcelo deu algumas de suas figurinhas para Paulo.
Depois dessa doação, é possível que Marcelo e Paulo
fiquem, respectivamente, com as seguintes quantidades
de figurinhas:
(A) 82 e 53
(B) 74 e 62
(C) 68 e 68
(D) 66 e 69
(E) 56 e 89
03. (SESAU-RO – Farmacêutico – FUNRIO/2017) A soma
de 10 números é 400. Um desses números é o 44. Assim, avalie
se as seguintes afirmativas são falsas (F) ou verdadeiras (V):
Ao menos um dos demais 9 números é menor do que 40.
Ao menos três números são menores ou iguais a 39.
Ao menos um dos números é menor do que 37.
As afirmativas são respectivamente:
(A) F, V e V.
(B) V, F e V.
(C) V, F e F.
(D) F, V e F.
(E) F, F e F.
04. (SESAU-RO – Técnico em Informática –
FUNRIO/2017) Capitu é mais baixa que Marilu e é mais alta
que Lulu. Lulu é mais alta que Babalu mas é mais baixa que
Analu. Marilu é mais baixa que Analu. Assim, a mais alta das
cinco é:
(A) Analu.
(B) Babalu.
(C) Capitu.
(D) Lulu.
(E) Marilu.
05. Um terreno retangular será cercado com arames e
estacas. Quantas estacas serão necessárias se em cada lado
terá de haver 20 delas?
(A) 80 estacas.
(B) 78 estacas.
(C) 76 estacas.
(D) 74 estacas.
(E) 72 estacas.
Respostas
01. Resposta: B
O sinônimo de "Continuidade" é "Frequência".
02.Resposta: A
Observe que enquanto um ganha figurinhas o outro perde,
logo se Marcelo estava com 77 e foi para 82 figurinhas ele
ganhou 5 figurinhas, com isso Paulo perdeu 5 figurinhas,
ficando com 53.
03. Resposta: C
Se um dos números é 44, os outros nove somam 356.
Dividindo 356 por 9, temos 39,9999.... Logo, podemos ver
que não importa quais são os números, um necessariamente
será menor que 40. Por isso, a afirmativa I é Verdadeira.
É possível que menos de 3 números seja menor maior que
39. Por exemplo, 100 + 100 + 100 + 40 + 10 + 2 + 2 + 1 + 1 =
356. Logo, afirmativa II é Falsa.
Como vimos, é possível que os 9 números restantes sejam
iguais a 39,999... ou seja, afirmação III é Falsa.
Gabarito: V, F e F.
04. Resposta: A.
Seja A= Analu, B= Babalu, C= Capitu, L= Lulu e M= Marilu.
Pelo enunciado temos:
M>L
L>B
A>L
A>M.
Portanto a maior de todas é A= Analu.
05. Resposta: C.
Se em cada lado deverá haver 20 estacas, nos quatro lados
do terreno deverá ter 4x20 – 4 = 76 estacas.
Diminuímos 4 porque contando 20 em cada lado as que
estão no canto (vértices) foram contadas duas vezes.
ESTRUTURAS LÓGICAS
Em uma primeira aproximação, a lógica pode ser
entendida como a ciência que estuda os princípios e o métodos
que permitem estabelecer as condições de validade e
invalidade dos argumentos. Um argumento é uma parte do
discurso no qual localizamos um conjunto de uma ou mais
sentenças denominadas premissas e uma sentença
denominada conclusão.
Em diversas provas de concursos são empregados toda
sorte de argumentos com os mais variados conteúdos: político,
religioso, moral e etc. Pode-se pensar na lógica como o estudo
da validade dos argumentos, focalizando a atenção não no
conteúdo, mas sim na sua forma ou na sua estrutura.
Conceito de proposição
Chama-se proposição a todo conjunto de palavras ou
símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de
sentido completo. Assim, as proposições transmitem
pensamentos, isto é, afirmam, declaram fatos ou exprimem
juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou
entes.
Elas devem possuir além disso:
- um sujeito e um predicado;
- e por último, deve sempre ser possível atribuir um valor
lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).
Preenchendo esses requisitos estamos diante de uma
proposição.
Vejamos alguns exemplos:
A) Terra é o maior planeta do sistema Solar
B) Brasília é a capital do Brasil.
C) Todos os músicos são românticos.
A todas as frases podemos atribuir um valor lógico (V ou
F).
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