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NÚMEROS INTEIROS
1) A soma de dois números é 35 e a diferença entre eles é 9. Calcular
esses números.
Solução:
1. Tira-se a diferença para que eles fiquem iguais;
2. divide-se o resultado por 2 para achar os dois iguais;
3. repõe-se a diferença a um dos iguais para se achar o maior.
4. 35 - 9 = 26
5. 26 ¸ 2 = 13
6. 13 + 9 = 22
Resp.: 22 e 13
2) A soma de três números inteiros consecutivos é 57. Calcular esses
números.
Solução:
1.°
2.° ® 1.° + 1
3.° ® 1.° + 2
1. 1 + 2 = 3
2. 57 - 3 = 54
3. 54 ¸ 3 = 18
4. 18 + 1 = 19
5. 19 + 1 = 20
Resp.: 18; 19 e 20
3) A soma de três números ímpares consecutivos é 57. Quais
são eles?
Solução:
1.°
2.° ® 1.° + 2
3.° ® 1.° + 4
1. 2 + 4 = 6
2. 57 - 6 = 51
3. 51 ¸ 3 = 17
4. 17 + 2 = 19
5. 19 + 2 = 21
Resp.: 17; 19 e 21
3
4) A Soma de dois números é 108; o maior é o quíntuplo do
menor; quais são eles?
Solução:
Representa-se o menor por 1; o maior por 5;
1. 5 + 1 = 6
2. 108 ¸ 6 = 18
3. 18 ´ 5 = 90
Resp.: 90 e 18
5) A diferença de dois números é 54; o maior é o quádruplo
do menor; calcular esses números.
Solução:
Representa-se o menor por 1; o maior por 4;
1. 4 - 1 = 3
2. 54 ¸ 3 = 18
3. 18 ´ 4 = 72
4.
Resp.: 72 e 18
6) A soma de dois números é 40; o quociente do maior pelo
menor é 4 e o resto 5; quais são eles?
Solução:
S = 4 0 Tira-se o resto do dividendo (incluído em 40) para se converter a
Q = 4 divisão inexata em exata; representa-se o menor por 1.
R = 5
1. 40 - 5 = 35
2. 4 + 1 = 5
3. 35 ¸ 5 = 7
4. 7 ´ 4 + 5 = 33
Resp.: 33 e 7
4
7) Numa divisão inexata o divisor é 14 e o quociente é 3.
Calcular o dividendo, sendo o resto o menor possível.
Solução:
o menor resto de uma divisão inexata é 1; o dividendo é o produto do divisor pelo quociente,
mais o resto;
14 ´ 3 + 1 = 43
Resp.: 43
8) O produto de dois números é 180. Somando-se 5 unidades
ao multiplicando, o novo produto é 240. Calcular esses
números.
Solução:
1. 240 - 180 = 60 ® diferença entre os dois produtos;
2. 60 ¸ 5 = 12 ® o multiplicador;
3. 180 ¸ 12 = 15 ® o multiplicando.
Resp.: 15 e 12
9) A soma de dois números é 84. A diferença entre eles é o
quíntuplo do menor. Quais são eles?
Solução:
1. representa-se o menor (que é o subtraendo) por 1; o resto é o quíntuplo do menor ou 5; o
minuendo (que é o maior) é a soma do subtraendo e resto, isto é, 1 + 5 ou 6; o problema
converte-se no seguinte: “a soma de dois números é 84; o maior é o sêxtuplo do menor;
quais são eles?“
2. representa-se o menor por 1;
3. 6 + 1 = 7;
4. 84 ¸ 7 = 12 ® o menor;
5. 12 ´ 6 = 72 ® o maior.
Resp.: 72 e 12
10) Há três números: a soma dos dois primeiros é 30; a dos dois últimos é 54 e a do 1.° e
3.° e 60. Quais são esses números?
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Solução:
1.° + 2.° ® 30
2.° + 3.° ® 54
1.° + 3.° ® 60
1. nos totais 30.... 54 e 60, cada número está tomado duas vezes;
2. a soma de 30.... 54 e 60 ou 144, representa o dobro da soma real;
3. a soma dos três números será, então 144 ¸ 2 ou 72;
4. da soma de três números, tirada a soma do dois deles, fica um dos números;
5. 72 - 30 = 42 ® 3.°
6. 72 - 54 = 18 ® 1.°
7. 72 - 60 = 12 ® 2.°
Resp.: 18; 12 e 42
11) A soma de três números pares consecutivos é 186. Determiná-los.
Solução:
1. 186 - 6 = 180
2. 180 ¸ 3 = 60
Resp.: 60; 62 e 64
12) Pagar R$ 900,00 com 22 notas, umas de R$ 50,00 e outras de R$ 10,00. Calcular o
número de notas de cada valor.
Solução:
50
900 ® 22 〈
10
1. admite-se que todas as notas sejam de R$ 50,00;
2. R$ 50,00 ´ 22 = R$ 1.100,00;
3. R$ 1.100,00 - R$ 900,00 = R$ 200,00;
4. R$ 50,00 - R$ 10,00 = R$ 40,00;
5. R$ 200,00 ¸ R$ 40,00 = 5 ® notas de R$ 10,00;
6. 22 - 5 = 17 ® notas de R$ 50,00.
Resp.: 17 notas de R$ 50,00 e 5 notas de R$ 10,00
13) Um operário recebe, por ano, R$ 3.600,00 e um relógio. No fim de 8 meses é
despedido, recebendo R$ 2.200,00 e o relógio. Calcular o valor do relógio.
Solução:
1. 12m ® 3.600 e o relógio;
2. 8m ® 2.200 e o relógio;
3. 12m - 8m = 4 meses ® número de meses que faltava para completar o ano, quando foi
despedido;
4. R$ 3.600,00 - R$ 2.200,00 = R$ 1.400,00 ® dinheiro que deixou de receber por não
ter completado o ano;
5. R$ 1.400,00 ¸ 4 = R$ 350,00 ® ordenado mensal;
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6. R$ 350,00 ´ 8 = R$ 2.800,00 ® dinheiro que devia receber pelos 8 meses de trabalho;
7. R$ 2.800,00 - R$ 2.200,00 = R$ 600,00 ® valor do relógio.
Resp.: R$ 600,00
14) Num sítio há gatos e pombos. O número de pombos é o triplo do de gatos e o total
de pés é de 40; calcular o número de animais de cada espécie.
Solução:
1. representa-se o número de gatos por 1 e o de pombos por 3;
2. 4 ´ 1 = 4 ® número de pés de um gato;
3. 2 ´ 3 = 6 ® número de pés de três pombos;
4. 4 + 6 = 10;
5. 40 ¸ 10 = 4 ® número de gatos;
6. 4 ´ 3 = 12 ® número de pombos.
Resp.: 4 gatos e 12 pombos
15) Uma pessoa comprou três peças de tecido à razão de R$ 3,60 o metro. Pagou ao
todo, R$ 180,00. A primeira peça tem 25 metros e a segunda tem 15 metros. Quantos
metros tem a terceira?
Solução:
1. R$ 180,00 ¸ R$ 3,60 = 50 ® número de metros das três peças;
2. 25 + 15 = 40 ® número de metros das duas peças;
3. 50 - 40 = 10 ® número de metros da terceira.
Resp.: 10 metros
16) De quanto se deve aumentar o número 72, para torná-lo cinco vezes maior?
Solução:
1. 72 ´ 5 = 360
2. 72 + (....) = 360
3. 360 - 72 = 288
Resp.: 288
17) Quantas unidades se devem tirar de 180, para torná-lo quatro vezes menor?
Solução:
1. 180 ¸ 4 = 45
2. 180 - (....) = 45
3. 180 - 45 = 135
Resp.: 135
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18) As idades de duas pessoas diferem de 60 anos. A idade de uma delas é o sêxtuplo da
idade da outra. Calcular a idade de cada uma.
Solução:
1. 6 - 1 = 5
2. 60 ¸ 5 = 12
3. 12 ´ 6 = 72
Resp.: 72 anos e 12 anos
19) Dois trens partem, ao mesmo tempo, das extremidades de uma estrada de 450 km;
o primeiro tem uma velocidade de 40 km por hora e o segundo 50 km; no fim de quantas
horas se encontrarão?
Solução:
1. 40 + 50 = 90
2. 450 ¸ 90 = 5
Resp.: 5 horas
20) Uma torneira despeja 88 litros d’água num tanque em 4 minutos e outra 162 litros
em 6 minutos. Que tempo levarão para encher um tanque de 1470 litros?
Solução:
1. 88 ¸ 4 = 22 ® por minuto;
2. 162 ¸ 6 = 27 ® por minuto;
3. 22 + 27 = 49 ® as duas por minuto;
4. 1470 ¸ 49 = 30.
Resp.: 30 minutos
21) O produto de dois números é 420. Calcular o produto de um número 8 vezes maior
que o primeiro por outro 5 vezes maior que o segundo.
Solução:
1. 8 ´ 5 = 40
2. 420 ´ 40 = 16800
Resp.: 16800
22) São dados dois números. O maior deles é 143. Tirando-se 23 do maior e 14 do
menor, a soma dos restos é 163. Qual é o menor?
Solução:
1. 143 - 23 = 120;
2. 163 - 120 = 43;
8
3. (menor) - 14 ® 43;
4. o menor será 43 + 14 ou 57.
Resp.: 57
23) Um pai tem 65 anos e os filhos têm 28 anos, 25 anos e 20 anos. Há quantos anos foi
a idade do pai igual a soma das idades dos filhos?
Solução:
1. 28 + 25 + 20 = 73 ® soma das idades dos filhos;
2. 73 - 65 = 8;
3. em cada ano a idade dos filhos diminui de (1 + 1 + 1) ou 3 e a do pai de 1;
4. (1 + 1 + 1) - 1 = 3 - 1 = 2;
5. 8 ¸ 2 = 4.
Resp.: 4 anos
24) O produto de dois números é 450. A nona parte desse produto é o quíntuplo do
menor. Calcular esses números.
Solução:
1. toma-se a nona parte do produto: 450 ¸ 9 = 50;
2. o quíntuplo do menor é 50 e o menor será: 50 ¸ 5 ou 10;
3. o maior será: 450 ¸ 10 ou 45.
Resp.: 45 e 10
25) Uma pessoa tem 35 anos e outra 15 anos. Há quantos anos foi a idade da primeira o
triplo da idade da segunda?
Solução:
1. toma-se o triplo da idade da 2.ª: 15 ´ 3 ou 45;
2. 45 - 35 = 10;
3. 3 - 1 = 2;
4. 10 ¸ 2 = 5.
Resp.: 5 anos
26) A tem R$ 15.600,00 e B R$ 8.400,00. A primeira economiza R$ 960,00 por ano e
a segunda R$2.400,00. No fim de que tempo terão quantias iguais?
Solução:
1. a diferença dos haveres é de R$ 15.600,00 - R$ 8.400,00 = R$ 7.200,00;
2. a cada ano essa diferença diminui de R$ 2.400,00 - R$ 960,00 ou R$ 1.440,00;
3. as duas pessoas terão quantias iguais no fim de R$ 7.200,00 ¸ R$ 1.400,00 ou 5.
Resp.: 5 anos
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27) O quádruplo do produto de dois números é 14400. O maior é 75. Calcular a terça
parte da diferença deles.
Solução:
1. 14400 ¸ 4 = 3600 ® produto dos dois números;
2. 3600 ¸ 75 = 48 ® o menor deles;
3. 75 - 48 = 27 ® a diferença deles;
4. 27 ¸ 3 = 9 ® a terça parte da diferença.
Resp.: 9
28) Qual o número que multiplicado por 27, dá o mesmo resultado que o produto de 45
por 72?
Solução:
1. 45 ´ 72 = 3240
2. 3240 ¸ 27 = 120
Resp.: 120
29) A soma de três números é 160. O triplo do primeiro, mais 4, é
154. A quinta parte do segundo, menos 6, é 9. Determiná-los.
Solução:
1. se o triplo do 1.°, mais 4 é 154, o triplo do 1.° será: 154 - 4 ou 150 e o 1.° será: 150 ¸
3 ou 50;
2. se a quinta parte do 2.°, menos 6, é 9, a quinta parte do 2.° será: 9 + 6 ou 15 e o 2.°
será: 15 ´ 5 ou 75;
3. a soma dos dois primeiros números será: 50 + 75 ou 125;
4. o 3.° número será: 160 - 125 ou 35.
Resp.: 50; 75 e 35
30) Numa divisão, o quociente é 23, o resto é 36 e o divisor é o menor possível. Qual é o
dividendo?
Solução:
1. o resto é menor que o divisor; o divisor, para ser o menor possível, deverá ser 36 + 1 ou
37;
2. multiplica-se o divisor (37) pelo quociente (23) e soma-se o resto (36), obtendo-se 887,
que é o dividendo.
Resp.: 887
31) A soma das idades de pai e filho é 70. Tirando-se 14 da idade do pai e somando-se
14 à do filho, as duas idade passam a ser iguais. Calcular a idade de cada um.
Solução
1. a diferença das idades é: 14 + 14 ou 28 anos;
2. o problema reduz-se ao seguinte: a soma das idades é de 70 e a diferença é de 28 anos;
10
3. 70 - 28 = 42
4. 42 ¸ 2 = 21 ® idade do filho;
5. 21 + 28 = 49 ® idade do pai.
Resp.: 49 anos e 21 anos
32) Se uma pessoa tivesse mais R$ 300,00, poderia comprar um objeto de R$ 500,00 e
ainda ficaria com R$ 200,00. Calcular a quantia possuída.
Solução:
1. R$ 500,00 + R$ 200,00 = R$ 700,00;
2. R$ 700,00 - R$ 300,00 = R$ 400,00.
Resp.: R$ 400,00
33) Um negociante comprou 40 dúzias de ovos a R$ 1,00 a dúzia. Quebraram-se 18
ovos e vendeu os restantes a R$ 1,30 a dúzia. Que lucro obteve?
Solução:
1. R$ 1,00 ´ 40 = R$ 40,00 ® custo;
2. quebraram-se 18 ovos ou dúzia e meia e ficaram 38 dúzias e meia;
3. R$ 1,30 ´ 38,5 = R$ 50,05 ® preço de venda;
4. R$ 50,05 - R$ 40,00 = R$ 10,05 ® lucro.
Resp.: R$ 10,05
34) Quantos tipos são precisos para se escreverem os números compreendidos entre
437 e 2659?
Solução:
1. o maior número de 3 algarismos é 999;
2. entre 437 e 999 há: 999 - 437 ou 562 números e 3 algarismos, que gastarão: 3 ´ 562
ou 1686 tipos;
3. restam 2659 - 999 ou 1660 números de 4 algarismos, que gastarão: 4 ´ 1660 ou
6640 tipos;
4. o número total de tipos será: 1686 + 6640 ou 8326.
Resp.: 8326 tipos
35) Dois operários ganham, juntos, por dia, R$ 33,00. No fim de alguns dias, o primeiro
recebe R$ 450,00 e o segundo R$ 540,00. Quanto ganha cada um por dia?
Solução:
1. R$ 450,00 + R$ 540,00 = R$ 990,00 ® ganho dos dois;
2. R$ 990,00 ¸ R$ 330,00 = 30 ® número de dias que cada um trabalha;
3. R$ 450,00 ¸ 30 = R$ 15,00 ® ganho do 1.° por dia;
4. R$ 540,00 ¸ 30 = R$ 18,00 ® ganho do 2.° por dia.
Resp.: R$ 15,00 e R$ 18,00
11
36) Uma caixa da lápis custa R$ 3,00. Outra caixa de mesma qualidade, tendo mais
quatro lápis, custa R$ 5,00. Quantos lápis há em cada caixa?
Solução:
1. R$ 5,00 - R$ 3,00 = R$ 2,00 ® custo dos 4 lápis;
2. R$ 2,00 ¸ 4 = R$ 0,50 ® custo de um lápis;
3. R$ 3,00 ¸ R$ 0,50 = 6 ® número de lápis da 1.ª caixa;
4. R$ 5,00 ¸ R$ 0,50 = 10 ® número de lápis da 2.ª caixa.
Resp.: 6 e 10
37) Multiplicando-se um número por 5, ele fica aumentado de 64 unidades. Qual é esse
número?
Solução:
1. multiplicar um número por 5 é aumentá-lo de 4 vezes o seu valor;
2. o número é: 64 ¸ 4 ou 16.
Resp.: 16
38) O maior de dois números excede de 15 unidades ao menor e a soma deles é 89.
Calcular esses números.
Solução:
1. o problema dado pode ser substituído pelo seguinte: “a soma de dois números é 89 e a
diferença é 15; quais são eles”?
2. 89 - 15 = 74 ® é a soma dos dois iguais;
3. 74 ¸ 2 = 37 ® é o número menor;
4. 37 + 15 = 52 ® é o número maior.
Resp.: 52 e 37
39) Quinze dias de trabalho de um operário e 12 dias de um servente valem R$ 414,00.
Quinze dias de um operário e 8 dias de um servente valem R$ 366,00. Quanto ganha
cada um por dia?
Solução:
1. o número de dias do operário é o mesmo nos dois cálculos;
o servente da 1.ª vez trabalha 12 dias e, da 2.ª, 8; então, 4 dias de um servente valem...
R$ 414,00 - R$ 366,00 ou R$ 48,00;
2. R$ 48,00 ¸ 4 = R$ 12,00 ® ganho diário de um servente;
3. R$ 12,00 ´ 12 = R$ 144,00 ® ganho de 12 dias de um servente;
4. R$ 414,00 - R$ 144,00 = R$ 270,00 ® valor de 15 dias de um operário;
5. R$ 270,00 ¸ 15 = R$ 18,00 ® valor do trabalho de cada dia de um operário.
Resp.: R$ 18,00 e R$ 12,00
40) Achar um número tal que, dividindo-se 87 por ele, o quociente é 7 e o resto 3.
12
Solução:
1. tira-se o resto do dividendo, para que a divisão seja exata: 87 - 3 = 84;
2. divide-se 84 pelo quociente (7) e obtém-se o número pedido (12).
Resp.: 12
41) Uma peça de tecido custa R$ 162,00. Vendem-se 15 metros por R$ 60,00, obtendose
um lucro de R$ 0,40 por metro. Calcular o comprimento da peça.
Solução:
1. R$ 60,00 ¸ 15 = R$ 4,00 ® preço de venda de um metro;
2. R$ 4,00 - R$ 0,40 = R$ 3,60 ® preço de compra de cada metro;
3. R$ 162,00 ¸ R$ 3,60 = 45 ® comprimento da peça.
Resp.: 45 metros
42) Um filho tem 36 anos menos que o pai e este tem cinco vezes a idade do filho.
Calcular a idade de cada um.
Solução:
1. 5 - 1 = 4
2. 36 ¸ 4 = 9
3. 9 ´ 5 = 45
Resp.: 45 anos e 9 anos
43) Uma pessoa compra um número igual de quilos de arroz e milho por R$ 45,00.
O arroz custa R$ 1,80 o quilo e o milho R$ 1,20 o quilo. Calcular o número de quilos de
cada espécie.
Solução:
1. R$ 1,80 + R$ 1,20 = R$ 3,00 ® preço de um quilo das duas mercadorias;
2. R$ 45,00 ¸ R$ 3,00 = 15 ® número de quilos de cada mercadoria.
Resp.: 15 kg e 15 kg
44) Repartir R$ 140,00 entre três pessoas. A segunda recebe mais R$ 30,00 que a
primeira e menos R$ 20,00 que a terceira. Calcular a parte de cada uma.
Solução:
1. a 2.ª recebe: 1.ª + R$ 30,00;
2. se a 2.ª recebe menos R$ 20,00 que a 3.ª, esta recebe R$ 20,00 mais que a 2.ª ou R$ 50,00
mais que a 1.ª;
3. 1.ª
1.ª + 30
1.ª + 50
3 ´ 1.ª + 800,00 valem R$ 140,00;
4. 3 ´ 1.ª valem R$ 140,00 - R$ 80,00 ou R$ 60,00;
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5. a 1.ª vale R$ 60,00 ¸ 3 = ou R$ 20,00;
6. R$ 20,00 + R$ 30,00 = R$ 50,00 ® parte da 2.ª;
7. R$ 20,00 + R$ 50,00 = R$ 70,00 ® parte da 3.ª.
Resp.: R$ 20,00; R$ 50,00 e R$ 70,00
45) Em 728, quantas vezes o 5 é empregado?
Solução:
1. 73 nas unidades;
2. 7 ´ 10 = 70 ® nas dezenas;
3. 100 vezes na centena de 500 a 599;
4. total: 73 + 70 + 100 = 243.
Resp.: 243 vezes
46) Dois irmãos têm: R$ 30.000,00 e R$ 12.000,00. Se comprarem uma casa com a soma
dessas quantias, ficarão, ainda, com R$ 5.000,00. Se comprarem um terreno, ficarão
com R$ 23.000,00. Calcular o valor da casa e o do terreno.
Solução:
1. R$ 30.000,00 + R$ 12.000,00 = R$ 42.000,00;
2. R$ 42.000,00 - R$ 5.000,00 = R$ 37.000,00 ® valor da casa;
3. R$ 42.000,00 - R$ 23.000,00 = R$ 19.000,00 ® valor do terreno.
Resp.: R$ 37.000,00 e R$ 19.000,00
47) Um número é formado de dois algarismos, cuja soma é 12. Subtraindo-se 54 do
número dado, obtém-se o mesmo escrito em ordem inversa. Qual é esse número?
Solução:
1. a diferença entre um número de dois algarismos e o mesmo escrito em ordem inversa é
igual a um múltiplo de 9;
2. dividindo-se esse múltiplo de 9 por 9, o quociente representa a diferença entre os dois
algarismos do número dado;
3. 54 ¸ 9 = 6 ® é a diferença entre os algarismos do número dado;
4. o problema reduz-se ao seguinte: “a soma dos dois algarismos é 12 e a diferença é 6 “;
qual é esse número?
5. 12 - 6 = 6 ® soma dos 2 algarismos iguais;
6. 6 ¸ 2 = 3 ® algarismo das unidades;
7. 3 + 6 = 9 ® algarismo das dezenas.
Resp.: 93
48) Repartir entre os funcionários de uma loja, uma gratificação de R$
1.440,00. Há 5 homens, 3 mulheres e 2 garotos. Cada mulher vai receber tanto quanto 3
14
garotos e cada homem tanto quanto uma mulher e 2 garotos. Calcular a gratificação de
cada homem, cada mulher e cada garoto.
Solução:
1. representa-se a gratificação de cada garoto por 1; a de cada mulher por 3 e a de cada
homem por 3 + 2 ou 5;
2. um homem recebe tanto quanto 5 garotos e 5 homens receberão tanto quanto 25 garotos;
3. cada mulher recebe tanto quanto 3 garotos e 3 mulheres tanto quanto 9 garotos;
4. assim, a gratificação de 2 garotos, mais a de 9 garotos e mais a de 25 garotos, valem a de
36 garotos;
5. R$ 1.440,00 ¸ 36 = 40,00 ® para cada garoto;
6. R$ 40,00 ´ 3 = R$ 120,00 ® cada mulher;
7. R$ 40,00 ´ 5 = R$ 200,00 ® cada homem.
Resp.: R$ 200,00; R$ 120,00 e R$ 40,00
49) Um negociante comprou certo número de quadros. Vendendo cada um a R$ 180,00
o lucro é de R$ 6.000,00. Vendendo a R$ 160,00 o lucro é de R$ 4.800,00. Calcular
o número de quadros e o custo de cada um.
Solução:
1. o lucro baixou de R$ 6.000,00 - R$ 4.800,00 ou R$ 1.200,00, porque o preço de venda
de cada quadro diminuiu de R$ 180,00 - R$ 160,00 ou R$ 20,00;
2. R$ 1.200,00 ¸ R$ 20,00 = 60 ® número de quadros;
3. R$ 180,00 ´ 60 = R$ 10.800,00 ® preço de venda;
4. R$ 10.800,00 - R$ 6.000,00 = R$ 4.800,00 ® custo dos quadros;
5. R$ 4.800,00 ¸ 60 = R$ 80,00 ® custo de cada quadro.
Resp.: 60; R$ 80,00
50) Quantos algarismos são necessários para escrever de 1 a 387?
Solução:
1. de 1 a 9 há 9 números de 1 algarismo;
2. de 10 a 99 há 90 números de 2 algarismos;
3. de 100 (inclusive) a 387 há 288 números de 3 algarismos;
4. total: 9 + 90 ´ 2 + 288 ´ 3 = 9 + 180 + 864 = 1053
Resp.: 1053
51) Uma conta de R$ 3.600,00 foi paga com 54 notas de R$ 100,00 e de R$ 50,00.
Quantas eram as notas de cada valor?
Solução:
1. Admite-se que todas as notas sejam de R$ 100,00;
15
2. R$ 100,00 ´ 54 = R$ 5.400,00;
3. R$ 5.400,00 - R$ 3.600,00 = R$ 1.800,00;
4. R$ 100,00 - R$ 50,00 = R$ 50,00;
5. R$ 1.800,00 ¸ R$ 50,00 = 36 ® notas de R$ 50,00;
6. 54 - 36 = 18 ® notas de R$ 100,00.
Resp.: 36 notas de R$ 50,00 e 18 notas de R$ 100,00
52) Cada vez que colocam 50 litros em um depósito, retiram 20. Para enchê-lo, é
necessário colocar seis vezes. Qual é a capacidade?
Solução:
1. em cinco vezes (6 - 1) ficaram no tanque 5 ´ (50 - 20) = 5 ´ 30 ou seja 150 litros;
2. com a 6.ª vez acabaram de encher;
3. logo a capacidade do tanque é de 150 + 50 = 200 litros
4. na última vez, acabaram de encher com os 50 litros, portanto, dela não devem ser
subtraídos os 20.
Resp.: 200 litros
M. D. C. e M. M. C.
53) Decompuseram-se três números: A, B e C, e encontraram o seguinte:
A = 2 4 ´ 3 2 ´ 5 ´ 7 3
B = 2 3 ´ 3 ´ 5 2 ´ 11
C = 2 2 ´ 3 2 ´ 5 3 ´ 7 3
Determinar o M.D.C. deles.
Solução:
1. o máximo divisor comum é igual ao produto dos fatores comuns com os menores
expoentes;
2. no caso acima, são fatores comuns: 2, 3 e 5. (São comuns porque entram nos três
números.);
3. tomando-se os fatores comuns com os menores expoentes, temos: M.D.C. = 2 2 ´ 3 ´ 5
= 60.
Resp.: M.D.C. é 60
54) O M.D.C. de 2 números é 12 e os quocientes achados pelo processo das divisões
foram: 2, 3 e 5. Quais os números?
Solução:
Procuraremos fazer a reconstituição. Temos:
1. Multiplica-se 5 por 12 e obtém-se 60.
16
2. Multiplica-se 60 por 3 e soma-se com
12 obtém-se 192.
3. Multiplica-se 192 por 2 e soma-se 60 e
temos 444.
2 3 5
444 192 60 12
60 12
Resp.: os números são 444 e 192.
55) O M.D.C. de 2 números é 15 e os quocientes achados foram: 2, 3, 2 e 5. Quais os
números?
Solução:
1. 5 ´ 15 = 75
2. 75 ´ 2 + 15 = 165
3. 165 ´ 3 + 75 = 570
4. 570 ´ 2 + 165 = 1305
Resp.: Os números procurados são 1305 e 570.
56) O M.D.C. de 2 números é 9 e os quocientes encontrados foram: 2, 3, 2, 5 e 3. Quais
os números?
Solução:
1. 9 ´ 3 = 27
2. 27 ´ 5 + 9 = 144
3. 144 ´ 2 + 27 = 315
4. 315 ´ 3 + 144 = 1089
5. 1089 ´ 2 + 315 = 2493
Resp.: Os números procurados são 2493 e 1089.
57) Decompostos três números A, B e C, encontraram:
A = 2 2 ´ 5 2 ´ 7 ´ 11
B = 2 2 ´ 5 ´ 7 2
C = 2 4 ´ 5 ´ 7 ´ 11 2
Determinar o M. M. C.
Solução:
O mínimo múltiplo comum é igual ao produto dos fatores comuns e não comuns, dos comuns,
os que tiverem maior expoente.
No caso acima, temos:
M.M.C. = 2 4 ´ 5 2 ´ 7 2 ´ 11 2 = 16 ´ 25 ´ 49 ´ 121 = 2371600
Resp.: M.M.C. é 2371600
17
58) Uma pessoa tem uma barra de ferro de 1,20 m, 1,60 m, 2,40 m e 3,2 m e deseja
transformá-las em barras do mesmo tamanho, o maior possível sem inutilizar pedaços.
Qual será o tamanho dessas barras?
Solução:
1. reduzindo as medidas em decímetros, temos: 12, 16, 24 e 32;
2. determinando o M.D.C. desses números, achamos: 4;
3. as novas barras deverão ter 4 decímetros.
Resp.: 0,4 m
59) Uma pessoa tem 3 barras de ferro de cada um dos seguintes comprimentos: 1,5 m,
2,5 m, 3m e 3,5 m, e deseja transformá-las em barras de um só tamanho, o maior
possível, sem inutilizar nenhum pedaço. Qual deve ser o tamanho das novas barras?
Com quantas barras ficará?
Solução:
1. reduzindo as medidas em decímetros, temos: 15, 25, 30 e 35;
2. determinando o M.D.C. desses números, achamos: 5;
3. as novas barras deverão ter 5 decímetros;
4. dividimos cada número pelo M.D.C. (5), teremos:
15 ¸ 5 = 3, 25 ¸ 5 = 5, 30 ¸ 5 = 6 e 35 ¸ 5 = 7
5. somamos os quocientes e teremos: 3 + 5 + 6 + 7 = 21;
6. como há três barras de cada espécie, multiplicamos por 3 e teremos: 21 ´ 3 = 63 ® total
das novas barras.
Resp.: 5 e 63
60) Uma pessoa tem peças de tecido com as seguintes medidas: 2,4 m, 1,6 m e 3,2 m.
Deseja reduzir a um tamanho só, o maior possível. Com quantas peças ficará?
Solução:
1. o M.D.C. entre 16, 24 e 32 é 8 ® tamanho das novas peças;
2. 16 ¸ 8 = 2, 24 ¸ 8 = 3 e 32 ¸ 8 = 4;
3. total: 2 + 3 + 4 = 9 peças
Resp.: 9 peças
61) Indicar os menores números pelo qual devemos dividir: 2480, 3760 e 7440 para
obter quocientes iguais.
Solução:
1. procuramos o M.D.C. dos números dados e encontramos 80;
2. dividimos os números por 80 e achamos: 2480 ¸ 80 = 31, 3760 ¸ 80 = 47 e
7440 ¸ 80 = 93;
3. se dividirmos cada número pelos quocientes achados, iremos obter 80 para resultado de
todas as divisões, isto é: 2480 ¸ 31 = 80 3760 ¸ 47 = 80 e 7440 ¸ 93 =
80.
Resp.: 31; 47 e 93
18
62) As rodas menores de um carro têm 24 dm de perímetro e as maiores 36 dm. Que
percurso deve fazer o carro para que as rodas completem juntas 200 voltas?
Solução:
1. para sabermos em que distância as rodas grandes e as pequenas completam voltas juntas,
procuramos o M.M.C. dos seus perímetros;
2. O M.M.C. de 36 e 24 é 72, isto é, cada vez que o carro percorre 72 dm, as rodas grandes e
pequenas completam voltas ao mesmo tempo;
3. para completar 200 voltas juntas, temos: 72 ´ 200 = 14400 dm = 1440 metros.
Resp.: 1440 metros
63) A roda maior de uma bicicleta tem 3 m de perímetro e a menor 2,4 m. Em um
percurso de 1.200 metros, quantas vezes as duas rodas completam voltas ao mesmo
tempo?
Solução:
1. reduzimos 3 m e 2,4 m a 30 dm e 24 dm e procuramos o M.M.C. de 30 dm e 24 dm e
achamos 120 dm ou 12 m;
2. dividimos os 1.200 metros por 12 m e achamos 100, o número de vezes que as duas rodas
completam voltas ao mesmo tempo.
Resp.: 100 vezes
FRAÇÕES
64) Calcular uma fração equivalente a 48
60
, cujo denominador seja 35.
19
Solução:
1. simplifica-se a fração dada, dividindo seus termos por 12: 4
5
;
2. divide-se 35 por 5 e o quociente 7 multiplica-se pelo numerador.
Resp.: 28
35
65) A diferença dos termos de uma fração equivalente a 12
21
é 27. Qual é essa fração?
Solução:
1. simplifica-se a fração dada, dividindo seus termos por 3: 4
7
;
2. 7 - 4 = 3
3. 27 ¸ 3 = 9
4. 9 ´ 4 = 36 9 ´ 7 = 63
Resp.: 36
63
66) Que número se deve tirar do denominador da fração 7
12
, para torná-la 4 vezes
maior?
Solução:
1. tornar a fração 4 vezes maior é multiplicá-la por 4: 7
12
´ 4 = 28
12
= 7
3
;
2. escreve-se a fração dada e a obtida: 7
12
......... 7
3
;
3. a diferença dos denominadores é 9, que é a solução pedida.
Resp.: 9
67) Uma pessoa gastou 5/9 do que possuía e ficou com R$ 600,00. Calcular a quantia
primitiva.
Solução:
1. possuía 9/9;
2. ficou com 9/9 - 5/9 = 4/9;
3. 4/9 valem 600;
4. 1/9 vale 600 ¸ 4 ou 150;
5. 9/9 valem 150 ´ 9 ou 1350.
Resp.: R$ 1.350,00
68) Uma torneira enche um tanque em 12 horas e outra em 15 horas. Que tempo
levarão as duas juntas para encher o tanque todo?
Solução:
1. a primeira enche 1/12 do tanque em 1 hora; a segunda enche 1/15 em 1 hora;
2. as duas juntas enchem 1/12 + 1/15 ou 3/20 do tanque em 1 hora;
20
3. 3/20 do tanque em 1 hora;
4. 1/20 em 1/3 da hora;
5. 20/20 em 20/3 da hora ou 6 horas e 2/3 da hora;
6. 2/3 da hora correspondem a 2/3 ´ 60 ou 40 minutos.
Resp.: 6 horas e 40 minutos
69) Uma torneira enche um tanque em 12 horas, outra em 15 horas e um orifício o
esvazia em 20 horas. Abrindo-se ao mesmo tempo , o orifício e as torneiras, no fim de
quanto tempo o tanque ficará cheio?
Solução:
1. 1
12
+ 1
15
- 1
20
= 5 4 3
60
+ - = 6
60
= 1
10
;
2. 1/10 do tanque enche-se em 1 hora e 10/10 em 1 ´ 10 ou 10 horas.
Resp.: 10 horas
70) A diferença entre os 5/6 e os 3/4 de um número é igual a 10. Qual é esse número?
Solução:
1. 5
6
- 3
4
= 10 9
12
- = 1
12
;
2. 1/12 do número vale 10;
3. 12/12 valem 10 ´ 12 ou 120.
Resp.: 120
71) Qual é o número que, adicionado aos seus 2/9, dá 55?
Solução:
1. o número tem 9/9;
2. 9/9 + 2/9 = 11/9;
3. 11/9 valem 55;
4. 1/9 vale 55 ¸ 11 ou 5;
5. 9/9 valem 5 ´ 9 ou 45.
Resp.: 45
72) A diferença de dois números é 60. O maior vale os 7/4 do menor. Quais são eles?
Solução:
1. representa-se o menor número por 4/4;
2. 7/4 - 4/4 = 3/4;
3. 3/4 valem 60;
4. 1/4 vale 60 ¸ 3 ou 20;
5. 4/4 valem 20 ´ 4 ou 80 ® menor;
6. 7
4
de 80 = 140 ® maior
Resp.: 140 e 80
73) Uma pessoa tinha um certo número de pêras. Vendeu os 2/5 e, em seguida, os 4/9 do
resto, ficando com 40. Calcular o número primitivo de pêras.
21
Solução:
1. representa-se por 5/5 o número primitivo;
2. vendeu os 2/5 e ficou com 5/5 - 2/5 ou 3/5;
3. vendeu, ainda, os 4
9
de 3
5
ou 4
15
;
4. ficou com: 3
5
- 4
15
= 5
15
= 1
3
;
5. 1/3 vale 40;
6. 3/3 valem 40 ´ 3 ou 120.
Resp.: 120
74) Uma pessoa pode fazer um trabalho em 6 horas. Com o auxílio de uma segunda, o
trabalho ficará pronto em 4 horas. Que tempo levará a segunda pessoa para fazer o
trabalho todo?
Solução:
1. as duas juntas fazem 1/4 do trabalho em 1 hora; a primeira faz 1/6;
2. a segunda faz 1
4
- 1
6
= 3 2
12
- = 1
12
em 1 hora;
3. 1/2 do trabalho em 1 hora, 12/12 em 1 ´ 12 ou 12 horas.
Resp.: 12 horas
75) Se uma pessoa tivesse os 4/9 do que possui, mais R$ 340,00, teria R$ 500,00.
Quanto possui?
Solução:
1. (......) + 340 = 500;
¯
4
9
2. a quantia que, somada a 340, dá 500, é 500 - 340 ou 160;
3. 4/9 valem 160;
4. 1/9 vale 160 ¸ 4 ou 40;
5. 9/9 valem 40 ´ 9 ou 360.
Resp.: R$ 360,00
76) Repartir R$ 183,00 entre três pessoas. A primeira recebe menos 1/3 que a segunda.
A terceira recebe o dobro da segunda, mais 2/5 da segunda. Calcular a parte de cada
uma.
Solução:
1. representa-se a 2.ª por 3/3 ou 1;
2. a 1.ª é: 3/3 - 1/3 ou 2/3;
3. a 3.ª: 2 ´ 1 + 2
5
ou 2 + 2
5
ou 12
5
;
4. 2
3
+ 3
3
+ 12
5
= 10 15 36
15
+ + = 61
15
;
5. 61/15 valem 183;
6. 1/15 vale 183 ¸ 61 ou 3;
7. 15/15 valem 3 ´ 15 ou 45 ® 2.ª:
8. 45 - 1/3 de 45 = 45 - 15 = 30 ®
1.ª
9. 2 ´ 45 + 2
5
de 45 = 90 + 18 = 108 ®
3.ª
Resp.: R$ 30,00; R$ 45,00 e R$ 108,00
22
77) Num colégio há mais 120 alunos externos do que internos. Os 2/5 do número dos
externos correspondem a 2/3 do número dos internos. Calcular o número de alunos de
cada categoria.
Solução:
1. 2/5 dos externos valem 2/3 dos internos;
2. 1/5 dos externos vale 2/3 ¸ 2 ou 1/3
dos internos;
3. 5/5 dos externos valem 1/3 ´ 5 ou
5/3 dos internos;
4. representa-se o número de internos por
3/3 e o do externos por 5/3;
5. 5/3 - 3/3 = 2/3;
6. os 2/3 valem 120;
7. 1/3 vale 120 ¸ 2 ou 60;
8. 3/3 valem 60 ´ 3 ou 180 ®
internos;
9. 180 + 120 = 300 ® externos.
Resp.: 300 externos e 180 internos
78) Duas pessoas querem comprar um sítio, de sociedade. A primeira tem os 2/5 do
valor do sítio e a segunda a terça parte. Juntando-se R$ 8.000,00 ao dinheiro que as duas
possuem, elas poderão comprar o sítio. Calcular o valor do sítio.
Solução:
1. 2/5 + 1/3 = 6 5
15
+ = 11
15
;
2. 11
15
+ (.......) = 15
15
;
¯
8.000
3. a fração que, somada a 11/15, dá 15/15
é
4/15;
4. 4/15 valem 8.000;
5. 1/15 vale 8.000 ¸ 4 ou 2.000;
6. 15/15 valem 2.000 ´ 15 ou 30.000.
Resp.: R$ 30.000,00
79) Uma torneira enche 1/4 de um tanque em 5 horas e outra enche os 2/5 do resto em
12 horas. Que tempo levarão as duas juntas para encher o tanque todo?
Solução:
1. 1/4 do tanque em 5 horas;
2. 4/4 do tanque em 5 ´ 4 ou 20 horas ® tempo que a 1.ª gasta para encher o tanque;
3. 4
4
- 1
4
= 3
4
® resto;
4. 2
5
de 3
4
= 3
10
;
5. 3/10 do tanque em 12 horas;
6. 1/10 em 12 ¸ 3 ou 4 horas;
7. 10/10 em 4 ´ 10 ou 40 horas ® tempo que a 2.ª gasta para encher o tanque;
8. 1
20
® parte do tanque que a 1.ª enche em 1 hora;
9. 1
40
® parte do tanque que a 2.ª enche em 1 hora;
10. 1
20
+ 1
40
= 2 1
40
+ = 3
40
® parte do tanque que as duas enchem em 1 hora;
11. 3/40 do tanque em 1 hora;
12. 1/40 em 1/3 da hora;
13. 40/40 em 40/3 da hora ou 13 horas e 1/3 da hora;
23
14. 1
3
da hora ou 20 minutos.
Resp.: 13 horas e 20 minutos
80) Por qual número se deve multiplicar 5, para aumentá-lo de 3 unidades
Solução:
1. (.......) ´ 5 = 5 + 3;
2. (.......) ´ 5 = 8;
3. divide-se o produto (8) por um dos fatores (5) para se achar o número pedido.
Resp.: 8
5
81) Um negociante vendeu 1/6 de uma peça de tecido a uma pessoa.
A uma segunda pessoa vendeu os 3/5 do resto e a uma terceira a
quarta parte do novo resto, ficando com 45 metros. Quantos metros
tinha a peça?
Solução:
1. tinha: 6/6;
2. vendeu 1/6 e ficou com 6/6 - 1/6 ou 5/6;
3. vendeu, ainda, os 3/5 do resto, isto é, 3
5
de 5
6
ou 1
2
, ficando com: 5
6
- 1
2
= 5 3
6
- = 2
6
=
1
3
;
4. vendeu 1/4 do novo resto ou 1
4
de 1
3
ou 1
12
, ficando com: 1
3
- 1
12
= 4 1
12
- = 3
12
=
1
4
;
5. 1/4 vale 45;
6. 4/4 valem 45 ´ 4 ou 180.
Resp.: 180 metros
82) Um negociante vendeu dois objetos do mesmo preço. O primeiro com o prejuízo de
3/8 e o segundo com o prejuízo de 1/3 do seu valor, por mais R$ 50,00 que o
primeiro. Calcular o preço de venda de cada objeto.
Solução:
1. 8/8 - 3/8 = 5/8;
2. 3/3 - 1/3 = 2/3;
3. 2
3
- 5
8
= 16
24
- 15
24
= 1
24
;
4. 1/24 vale 50;
5. 15/24 valem 50 ´ 15 ou 750 ® 1.°;
6. 16/24 valem 50 ´ 16 ou 800 ® 2.°;
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Resp.: R$ 750,00 e R$ 800,00
83) A sexta parte das árvores de um pomar é de limoeiros, a terça parte é de cajueiros, 2/9
são de mangueiras e há, ainda, 20 abacateiros. Calcular o número total de árvores.
Solução:
1. 1
6
+ 1
3
+ 2
9
= 3 6 4
18
+ + = 13
18
;
2. 18
18
- 13
18
= 5
18
® parte correspondente aos abacateiros;
3. 5/18 valem 20;
4. 1/18 vale 20 ¸ 5 ou 4;
5. 18/18 valem 4 ´ 18 ou 72.
Resp.: 72
84) Três objetos do mesmo valor foram vendidos com lucro. O
primeiro com o lucro de 2/5, o segundo com 1/6 e o terceiro com
4/15. A venda total importou em R$ 920,00. Calcular o preço de
venda do terceiro objeto.
Solução:
1. 5/5 + 2/5 = 7/5;
2. 6/6 + 1/6 = 7/6;
3. 15/15 + 4/15 = 19/15;
4. 7
5
+ 7
6
+ 19
15
= 42 35 38
30
+ + = 115
30
;
5. 115/30 valem 920;
6. 1/3 vale 920 ¸ 115 ou 8;
7. 38/30 valem 8 ´ 38 ou 304.
Resp.: R$ 304,00
85) Um tanque contém água até os 3/4 de sua capacidade. Despejando-se mais 500 litros, ele
ficará cheio até os 5/6 de sua capacidade. Quantos litros d’água ele poderá conter, quando
cheio?
Solução:
1. 3
4
+ (.......) = 5
6
;
¯
500
2. os 500 litros representam a diferença entre os 5/6 e os 3/4 da capacidade do tanque:
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5
6
- 3
4
= 10 9
12
- = 1
12
;
3. 1/12 vale 500 litros e 12/12 valem 500 ´ 12 ou 6.000 litros.
Resp.: 6.000 litros
86) Os 3/8 do número de operários de uma fábrica abandonaram o trabalho. A quarta parte
adoeceu e, dias depois, voltou ao trabalho. Atualmente há 140 operários, Calcular o número
primitivo.
Solução:
1. representa-se por 8/8 o número total de operários;
2. 8/8 - 3/8 = 5/8;
3. 5/8 valem 140:
4. 1/8 vale 140 ¸ 5 ou 28;
5. 8/8 valem 28 ´ 8 ou 224.
Resp.: 224
87) O lucro de uma sociedade foi, assim, repartido . R$ 3.600,00 ao
primeiro; 4/9 do lucro total, mais R$ 1.200,00 ao segundo; 1/6 do total
mais R$ 1.500,00 ao terceiro. Calcular o lucro total.
Solução:
1. somam-se as frações: 4
9
+ 1
6
= 8 3
18
+ = 11
18
;
2. somam-se as quantias: R$ 3.600,00 + R$ 1.200,00 + R$ 1.500,00 = R$ 6.300,00;
3. 11
18
+ (.......) = 18
18
;
¯
6.300
4. os R$ 6.300,00 representam a diferença entre 18
18
e 11
18
ou 7/18;
5. 7/18 valem R$ 6.300,00;
6. 1/18 vale R$ 6.300,00 ¸ 7 ou R$ 900,00;
7. 18/18 valem R$ 900,00 ´ 18 ou R$ 16.200,00.
Resp.: R$ 16.200,00
88) Dois operários têm ordenados iguais. O primeiro gasta os 5/8 do ordenado e o segundo os
5/6. A soma das economias, por mês, é de R$ 520,00. Quanto ganha cada um?
Solução:
1. 8
8
- 5
8
= 3
8
® economia do 1.°;
2. 6
6
- 5
6
= 1
6
® economia do 2.°;
3. 3
8
+ 1
6
= 9 4
24
+ = 13
24
soma das economias;
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4. 13/24 valem R$ 520,00;
5. 1/24 vale R$ 520,00 ¸ 13 ou 40;
6. 24/24 valem 40 ´ 24 ou R$ 960,00.
Resp.: R$ 960,00
89) Um número foi multiplicado por 3/5. Subtraindo-se 24 unidades do produto, o resto é
igual a terça parte do produto obtido. Qual é esse número?
Solução:
1. representa-se o número pedido por 1;
2. 1 ´ 3
5
= 3
5
;
3. 1
3
de 3
5
= 1
5
;
4. 3
5
- (........) = 1
5
;
¯
24
5. as 24 unidades representam a diferença entre 3/5 e 1/5 ou 2/5;
6. 2/5 valem 24;
7. 1/5 vale 24 ¸ 2 ou 12;
8. 5/5 valem 12 ´ 5 ou 60.
Resp.: 60
90) Uma pessoa gastou os 5/12 do dinheiro que tinha e, em seguida, recebeu R$ 360,00,
ficando, então, com sua quantia primitiva aumentada de um terço. Calcular a quantia
primitiva.
Solução:
1. tinha 12/12; gastou 5/12 e ficou com 7/12;
2. 3/3 + 1/3 = 4/3 ® fração com que ficou;
3. 7
12
+ (.......) = 4
3
;
¯
360
4. os R$ 360,00 representam a diferença entre 4/3 e 7/12: 4
3
- 7
12
= 16 7
12
- = 9
12
= 3
4
;
5. 3/4 valem 360;
6. 1/4 vale 360 ¸ 3 ou 120;
7. 4/4 valem 120 ´ 4 ou 480.
Resp.: R$ 480,00
91) Uma pessoa retirou do banco a metade do que possuía e, em seguida, gastou R$ 300,00,
ficando com a terça parte da quantia que tinha tirado. Quanto tinha no banco?
Solução:
1. 2/2 - 1/2 = 1/2 ® parte que ficou no banco;
2. 1/2 - (.......) = 1
3
de 1
2
;
¯
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300
3. 1
2
- (.......) = 1
6
;
¯
300
4. os R$ 300,00 representam a diferença entre 1
2
e 1
6
ou: 1
2
- 1
6
= 3 1
6
- = 2
6
= 1
3
;
5. 1/3 vale R$ 300,00;
6. 3/3 valem R$ 300,00 ´ 3 = R$ 900,00.
Resp.: R$ 900,00
92) Um pai tem 42 anos e o filho 12. Daqui a quantos anos a idade do filho será os 2/5 da
idade do pai?
Solução:
1. em qualquer época a diferença das idades será: 42 - 12 ou 30 anos;
2. representa-se a idade do pai por 5/5 e a do filho por 2/5;
3. 5/5 - 2/5 = 3/5;
4. os 3/5 valem 30;
5. 1/5 vale 30 ¸ 3 ou 10;
6. 5/5 valem 10 ´ 5 ou 50 anos ® idade futura do pai;
7. o pai tem 42 anos e terá 50 anos, daqui a oito anos.
Resp.: 8 anos
93) Subtraindo-se 36 unidades do 5/6 de um número, o resultado é 64. Qual é esse número?
Solução:
1. 5/6 (.......) - 36 = 64;
2. o minuendo 5/6 (.......) é igual ao subtraendo (36) mais o resto (64);
3. 5/6 (.......) = 100;
4. 5/6 valem 100;
5. 1/6 vale 100 ¸ 5 ou 20 e
6. 6/6 valem 20 ´ 6 ou 120.
Resp.: 120
94) Uma pessoa perdeu os 4/5 do que possuía e, em seguida ganhou os 3/8 do que lhe
restavam, ficando com R$ 88,00. Calcular a quantia primitiva.
Solução:
1. 5/5 - 4/5 = 1/5 ® parte com que ficou;
2. 3/8 de 1/5 = 3/40 ® o ganho;
3. 1
5
+ 3
40
= 8 3
40
+ = 11
40
;
4. 11/40 valem 88;
5. 1/40 vale 88 ¸ 11 ou 8;
6. 40/40 valem 8 ´ 40 ou 320.
Resp.: R$ 320,00
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95) Somando-se 30 unidades à metade de certo número, o resultado é igual ao triplo do
mesmo número, mais 5 unidades. Qual é esse número?
Solução:
1. 30 - 5 = 25 ® esses 25 representam a diferença entre o triplo e a metade do número pedido
ou 2 1/2 ;
2. 2 1
2
= 5
2
;
3. 5/2 valem 25;
4. 1/2 vale 25 ¸ 5 ou 5;
5. 2/2 valem 5 ´ 2 ou 10.
Resp.: 10
96) Para assoalhar os 3/4 de 1 sala são precisos 600 tacos. Quantos serão necessários para
assoalhar os 3/5 da sala?
Solução:
1. 3/4...................600;
2. 1/4...................600 ¸ 3 ou 200;
3. 4/4...................200 = 4 ou 800 ® para a sala toda;
4. 4/4 = 5/5;
5. 5/5...................800;
6. 1/5...................800 ¸ 5 ou 160;
7. 3/5...................160 ´ 3 ou 480.
Resp.: 480
97) Somando-se 4/9 a uma fração de denominador igual a 27, obtém-se a unidade para
resultado. Calcular o numerador da fração.
Solução:
1. 4
9
+ ....
27
= 1;
2. a fração pedida é a diferença entre 1 e 4/9 ou 5/9;
3. 5
9
= ....
27
;
4. o número que multiplicado por 9, dá 27 é 3, que deverá ser multiplicado pelo numerador (5)
obtendo-se 15.
Resp.: 15
98) Subtraindo-se de 57 os 5/6 de certo número, o resultado obtido é igual a 3/4 desse mesmo
número. Qual é o número?
Solução:
1. 57 - 5
6
(....) = 3
4
(....);
2. trata-se de uma subtração; o minuendo (57) é igual ao subtraendo mais o resto;
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3. 5
6
+ 3
4
= 10 9
12
+ = 19
12
;
4. 19/12 valem 57;
5. 1/12 vale 57 ¸ 19 ou 3;
6. 12/12 valem 3 ´ 12 ou 36.
Resp.: 36
99) Uma peça de tecido custaria R$ 72,00, se tivesse 1/5 mais de comprimento. Calcular o
comprimento da peça, sabendo-se que o preço de cada metro é de R$ 3,00.
Solução:
1. 5/5 + 1/5 = 6/5;
2. 6/5 valem 72;
3. 1/5 vale 72 ¸ 6 ou 12;
4. 5/5 valem 12 ´ 5 ou 60 ® preço da peça;
5. 60 ¸ 3 = 20 ® comprimento da peça.
Resp.: 20 metros
100) Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 4 dias de 8 horas de trabalho. Em quantos dias de
6 horas será feito o restante?
Solução:
1. 8 horas ´ 4 = 32 horas;
2. 5
5
- 2
5
= 3
5
® parte do trabalho a ser feita;
3. 2/5.......................32 horas;
4. 1/5.......................32 h ¸ 2 ou 16 horas;
5. 3/5.......................16 h ´ 3 ou 48 horas;
6. na parte restante do trabalho, o dia é de 6 horas; portanto, o número de dias é 48 ¸ 6 ou 8.
Resp.: 8 dias
101) Um trem partiu com certo número de passageiros. Em uma das estações desceu a quinta
parte do número de passageiros. Em outra entraram 6 e na seguinte desceram os 2/3 dos
passageiros restantes, chegando 10 à estação terminal. Calcular o número primitivo de
passageiros.
Solução:
1. depois da primeira estação ficaram: 5/5 - 1/5 ou 4/5;
2. entraram 6 e ficaram: 4/5 (.......) + 6;
3. desceram 2/3, isto é, 2
3
de 4
5
+ 6
; 2
3
4
5
8
15
´ = ; 2
3
´ 6 = 4 e ficaram;
4. 4
5
(.......) + 6 - 8
15
(.....) - 4;
5. 4
5
8
15
12 8
15
4
15
- =
-
= ;
6. 6 - 4 = 2;
7. 4/15 (.......) + 2 = 10;
8. o número que, somado a 2, dá 10 é 8;
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9. 4
15
(.......) valem 8;
10.1/15 vale 8 ¸ 4 ou 2;
11.15/15 valem 2 ´ 15 ou 30.
Resp.: 30
102) Há três objetos: o primeiro e o segundo pesam, juntos, 84 kg. O peso do terceiro, que é
de 40 kg, é igual aos 2/3 do peso do primeiro mais 1/3 do peso do segundo. Calcular o peso de
cada um dos dois primeiros.
Solução:
1. 1.° + 2.° pesam 84 kg;
2. tomam-se os 2/3 das parcelas e da soma: 2/3 do (1.°) + 2/3 do (2.°) valem os 2/3 de 84 ou 56;
3. pelo enunciado os 2/3 do 1.° mais 1/3 do 2.° valem 40;
4. 2/3 do (1.°) + 2/3 do (2.°) valem 56 kg
2/3 do (1.°) + 1/3 do (2.°) valem 40 kg;
5. a diferença entre os elementos dessas duas linhas dá 1/3 do (2.°) pesando 56 kg - 40 kg ou 16 kg;
6. 3/3 do 2.° pesam 16 kg ´ 3 ou 48 kg;
7. o 1.° objeto pesa o que falta a 48 kg para 84 kg ou 36 kg.
Resp.: 36 kg e 48 kg
103) Dividindo-se um número por 8, ele fica diminuído em 56. Qual é esse
número?
Solução:
1. dividir um número por 8 é o mesmo que multiplicá-lo por 1/8 ou diminui-lo de 7/8, porque:
8/8 - 1/8 = 7/8;
2. 7/8 valem 56;
3. 1/8 vale 56 ¸ 7 ou 8 e
4. 8/8 valem 8 ´ 8 ou 64.
Resp.: 64
104) Juntando-se 19 à diferença de dois números obtém-se 40. Calcular esses números,
sabendo-se que o menor vale os 2/5 do maior.
Solução:
1. 40 - 19 = 21;
2. representa-se o maior por 5/5 e o menor por 2/5; a diferença é 3/5;
3. 3/5 valem 21;
4. 1/5 vale 21 ¸ 3 ou 7;
5. 2/5 velam 7 ´ 2 ou 14 ® menor;
6. 5/5 valem 7 ´ 5 ou 35 ® maior.
Resp.: 35 e 14
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105) A soma de dois números é 540. A diferença deles é 1/5 do maior. Calcular o maior.
Solução:
1. representa-se o maior por 5/5; sendo a diferença 1/5, o menor será 5/5 - 1/5 ou 4/5; a soma do
maior e menor é 9/5;
2. 9/5 valem 540;
3. 1/5 vale 540 ¸ 9 ou 60;
4. 5/5 valem 60 ´ 5 ou 300.
Resp.: 300
106) O dobro da idade de uma pessoa, mais a terça parte, mais a quarta parte e mais 7 anos
dariam 100 anos. Calcular a idade da pessoa.
Solução:
1. 100 - 7 = 93;
2. 1
3
1
4
4 3
12
7
12
+ =
+
= ;
3. 2 ´ 12
12
= 24
12
;
4. 24
12
7
12
31
12
+ = ;
5. 31/12 valem 93;
6. 1/12 vale 93 ¸ 31 ou 3;
7. 12/12 valem 3 ´ 12 ou 36.
Resp.: 36 anos
107) Uma torneira pode encher um tanque em 12 horas e outra em 15 horas. Deixa-se aberta
a primeira durante 3 horas; e, em seguida, a segunda durante 4 horas. Retiram-se 600 litros
d’água do tanque e abrem-se as duas torneiras que acabam de encher o tanque em 6 horas.
Calcular a capacidade do tanque.
Solução:
1. a 1.ª torneira funcionou durante 3 horas mais 6 horas ou 9 horas;
2. a 2.ª durante 4 horas mais 6 horas ou 10 horas;
3. em 1 hora a 1.ª enche 1
12
do tanque e em 9 horas encherá 9
12
ou 3
4
;
4. em 1 hora a 2.ª enche 1
15
do tanque e em 10 horas encherá 10
15
ou 2
3
;
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5. 3
4
2
3
9 8
12
17
12
+ =
+
= ;
6. sendo 12
12
a capacidade do tanque, a diferença entre 17/12 e 12/12 ou 5/12 representa os 600
litros retirados do tanque;
7. 5/12 valem 600;
8. 1/12 vale 600 ¸ 5 ou 120;
9. 12/12 valem 120 ´ 12 ou 1440.
Resp.: 1440 litros
108) A soma dos termos de uma fração é 13. Subtraindo-se 3 unidades do numerador e
somando-se 5 ao denominador, a fração resultante é 2/3. Calcular o fração primitiva.
Solução:
1. somando-se 5 ao denominador e subtraindo-se 3 do numerador, a soma dos termos da nova
fração, será:
13 + 5 - 3 ou 15;
2. divide-se 15 pela soma dos termos da fração 2/3 e o quociente multiplica-se por 2 e por 3;
3. 2 + 3 = 5; 15 ¸ 5 = 3; 3 ´ 2 = 6; 3 ´ 3 = 9;
4. fração obtida: 6
9
;
5. de que número se deve subtrair 3 para se obter 6? De 6 + 3 ou 9, que é o numerador da fração
final; qual é o número que, somado a 5, dá 9? É 9 - 5 ou 4, que é o denominador da fração
pedia.
Resp.: 9
4
109) Uma pessoa gastou 2/5 do que possuía e ficou com 4/15, mais R$ 100,00. Quanto
possuía?
Solução:
1. gastou 2/5 e ficou com 5/5 - 2/5 ou 3/5;
2. 3/5 (.......) = 4/15 (........) + 100;
3. os R$ 100,00 representam a diferença entre 3/5 e 4/15;
4. 3
5
4
15
9 4
15
5
15
1
3
- =
-
= = ;
5. 1/3 vale R$ 100,00;
6. 3/3 valem R$ 100,00 ´ 3 ou R$ 300,00.
Resp.: R$ 300,00
110) O perímetro de um terreno retangular é de 840 metros. A largura é igual aos 2/5 do
comprimento. Calcular as dimensões.
Solução:
1. perímetro é a soma dos lados; o semiperímetro (comprimento e largura) é 840 ¸ 2 ou 420;
2. representa-se o comprimento por 5/5 e a largura por 2/5;
3. 5/5 + 2/5 = 7/5;
4. 7/5 valem 420;
5. 1/5 vale 420 ¸ 7 ou 60;
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6. 5/5 valem 60 ´ 5 ou 300 ® comprimento;
7. 2/5 valem 60 ´ 2 ou 120 ® largura.
Resp.: 300 metros e 120 metros
111) Duas pessoas juntas receberam R$ 680,00, sendo que a 2.ª teve mais 3/7 do que a 1.ª.
Qual a parte de cada uma?
Solução:
1. Uma recebeu um inteiro ou sejam 7
7
. A outra recebeu 3
7
mais do que a 1.ª ou sejam 10
7
;
2. as duas juntas receberam 10
7
7
7
17
7
+ = ;
3. 17/7 valem R$ 680,00;
4. 1/7 vale R$ 680 ¸ 17 ou R$ 40,00;
5. 7/7 valem R$ 40,00 ´ 7 ou R$ 280,00 ® quantia da 1.ª;
6. 10/7 valem R$ 40,00 ´ 10 ou R$ 400,00 ® quantia da 2.ª.
Resp.: R$ 280,00 e R$ 400,00
112) A um número, somamos 36 e ele ficou igual a 1,45 do seu valor. Qual o número?
Solução:
1. o número era 1 inteiro, portanto ficou aumentado de 0,45 ou 45
100
ou, simplificando 9
20
, que são
iguais a 36;
2. 9/20 valem 36;
3. 1/20 vale 36 ¸ 9 ou 4;
4. 20/20 valem 4 ´ 20 ou 80.
Resp.: 80
113) Uma pessoa podia fazer um trabalho em 20 horas. Ela e outra fariam em 12 horas. Em
quanto tempo a outra faria sozinha?
solução:
1. a 1.ª, em cada hora, faz 1
20
do trabalho. Se a duas juntas fazem o trabalho em 12 horas, em cada
hora fazem 1
12
;
2. se de 1
12
, produção das duas, subtrairmos a produção da 1.ª, 1
20
, o que sobra é a produção da 2.ª.
Temos: 1
12
1
20
5 3
60
2
60
1
30
- =
-
= = ;
3. a 2.ª em cada hora faz 1
30
, logo para fazer o trabalho todo gasta 30 horas.
Resp.: 30 horas
114) Os 4/15 de uma estrada foram percorridos em duas horas por uma pessoa que anda 100
metros por minuto. O restante em quanto tempo será percorrido com uma velocidade de 150
metros?
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Solução:
1. 2 horas = 120 minutos. Se anda 100 metros por minuto, em 120 minutos andará: 100 ´ 120 =
12.000 m;
2. 4/15 valem 12.000;
3. 1/15 vale 12.000 ¸ 4 ou 3.000 metros;
4. 15
15
4
15
11
15
- = ® a restante;
5. 11/15 valem 3.000 ´ 11 = 33.000;
6. 33.000 ¸ 150 (velocidade por minuto) = 220 minutos = 3 horas e 40 minutos.
Resp.: 3 horas e 40 minutos
115) Uma torneira pode encher um tanque em 20 minutos e outra
em 30. As duas juntas em quanto tempo o encherão?
Solução:
1. se a 1.ª o enche em 20 minutos, em cada minuto enche 1
20
e a outra enche 1
30
;
2. as duas juntas por minuto, enchem 1
20
1
30
5
60
1
12
+ = = ;
3. se, por minuto, enchem 1
12
, encherão o tanque todo ou 12
12
em 12 minutos.
Resp.: 12 minutos
116) Um carro devia percorrer uma distância em doze horas. Para
percorrê-la em dez, aumentou a velocidade horária de 15 km. Qual
a distância?
Solução:
1. em uma hora, percorreria 1
12
. Para percorrer a distância em dez horas, ou seja 1
10
por hora, teria
que aumentar a velocidade de 15 km por hora, portanto os 15 km representam a diferença entre
1
10
e 1
12
;
2. 1
10
1
12
6 5
60
1
60
- = 15
-
= = km;
3. 60
60
= 15 ´ 60 km.
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Resp.: 900 km
DÍZIMAS PERIÓDICAS
A dízima periódica é simples quando, logo depois da vírgula, vem o período, isto
é, a parte que se repete.
A dízima é periódica composta quando, entre a vírgula e o período, há uma parte
que não se repete.
Geratriz é a fração ordinária equivalente a uma dízima periódica.
Determina-se a geratriz de uma dízima periódica simples, dando-se para
numerador um dos períodos e, para denominador tantos 9 quantos são os
algarismos do período.
Determina-se a geratriz de uma dízima periódica composta, dando-se para
numerador a parte não periódica, seguida de um dos períodos, menos a parte
não periódica e, para denominador tantos 9 quantos são os algarismos do
período, seguidos de tantos zeros quantos os algarismos da parte não periódica.
117) Indique a geratriz de: 0,444............, 0,535353............, 0,2111...........,
0,23474747............. e 0,3589589589...............
Solução:
1. 0,444....... é uma periódica simples, porque o período vem logo depois da vírgula, cujo período é
o 4. A sua geratriz é 4
9
.
2. 0,535353...... é periódica simples. O período é 53. A geratriz é 53
99
.
3. 0,2111...... é uma periódica composta porque, entre o período e a vírgula, há uma parte que não
se repete, o 2. A geratriz de 0,2111.... é 21 2
90
19
90
-
= .
1. 0,23474747....... é uma periódica composta, porque o 23 não se repete. A sua geratriz é
2347 23
9900
2324
9900
-
= .
2. 0,3589589589...... é periódica composta, pois o 3 não se repete. A geratriz é 3589 3
9990
3586
9990
-
= .
Resp.: 4
9
, 53
99
, 19
90
, 2324
9900
e 3586
9990
118) Operar: 0,2373737...... ´ 30
47
¸ 2 3
11
1
30 ¸ .
Solução:
235
990
30
47
11
25
30
1
´ ´ ´ = 2
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Resp.: 2
COMPLEXOS
NOTA: os problemas estão resolvidos tomado por base o ano e o
mês comercias isto é, com 360 e 30 dias respectivamente.
119) Reduzir 5 anos, 6 meses e 20 dias para horas.
Solução:
1. o ano tem 12 meses, então: 5 ´ 12 = 60 meses;
2. 60 meses + 6 meses = 66 meses;
3. o mês tem 30 dias, então: 66 ´ 30 = 1980 dias;
4. 1980 dias + 20 dias = 2000 dias;
5. o dia tem 24 horas, então: 2000 dias ´ 24 = 48000 horas.
Resp.: 48000 horas
120) Decompor 568456 minutos.
Solução:
1. dividimos 568456 por 60 para ver quantas horas temos: 568456 ¸ 60 = 9474 e há um resto de
16 minutos;
2. dividimos 9474 por 24, para achar os dias e teremos 394 dias e um resto de 18 horas;
3. dividimos 394 por 30 para achar os meses e teremos 13 meses e um resto de 4 dias;
4. dividimos 13 meses por 12 para achar o números de anos e teremos 1 ano o resto de 1 mês;
5. tomamos agora o quociente da última divisão e os restos das divisões anteriores e teremos:
1 ano, 1 mês, 4 dias, 18 horas e 16 minutos.
Resp.: 1 ano, 1 mês, 4 dias, 18 horas e 16 minutos
121) Uma pessoa foi nomeada em 5 de janeiro de 1978. Em 20 de
março de 1990 completou quanto tempo de serviço?
Solução:
teremos: 1990 ------- 3 ------- 20
1978 ------- 1 ------- 5
12 ------ 2 ------- 15
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Resp.: 12 anos, 2 meses e 15 dias
122) Uma pessoa nomeada em 20 de dezembro de 1972, quanto
tempo tinha de serviço, em 12 de março de l993?
Solução:
1. como de 12 não podemos subtrair 20, transformamos um mês em dias. Teremos 30 dias que,
com 12, fazem 42, menos 20, temos 22;
2. restaram 2 meses e também deste não podemos tirar 12;
3. transformamos 1 ano em meses e juntamos aos 2 restantes e teremos 14;
4. subtraímos 12 e achamos o resultado 2.
1993 ------- 3 ------ 12
1972 ------- 12 ----- 20
20 ------- 2 ----- 22
Resp.: 20 anos, 2 meses e 22 dias
123) Uma pessoa foi nomeada em 15 de agosto de 1970. Em 4 de
fevereiro de 1993, quanto tempo de serviço contava, sabendo-se
que esteve de licença durante um período de 100 dias e outro de
45?
Solução:
1993 ------- 2 ------- 4
1970 ------- 8 -------15
22 ------- 5 -------19
subtraindo-se 145 dias de licença ou 4 meses e 25 dias, temos:
22 ------ 5 ------ 19
4 ------- 25
22 ------ 0 ------ 24
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Resp.: 22 anos e 24 dia
124) Um trem saiu às 22 horas e 50 minutos, para uma viagem de
15 horas e 40 minutos. Sofreu um atraso de 6 horas e 40 minutos.
A que horas chegou?
Solução:
O trem gastou para chegar:
15 ------- 40
6 ------- 40
22 h. 20 min.
Saiu às 22 horas e 50 minutos e gastou 22 horas e 20 minutos, chegou, portanto, às:
22 ------ 50
22 ------ 20
45 ------ 10
Isto é, às 21 horas e 10 minutos do dia seguinte, subtraindo-se 24 horas de 45.
Resp.: 21 horas e 10 minutos
125) Às 11 3
4 horas e 20 segundos, quanto falta para meia noite?
Solução:
Meia noite ou 24 horas. Podemos desdobrar as 24 horas, isto é, considerar 23 horas e mais uma hora
ou 60 minutos. Consideramos 59 minutos e o minuto restante transformamos em 60 segundos, para
facilitar a subtração.
3
4
de 1 hora são 45 minutos. Temos:
23 h ------- 59 min ------- 60 s
11 h ------- 45 min ------- 20 s
12 h ------- 14 min -------40 s
Resp.: 12 horas, 14 minutos e 40 segundos
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126) Quanto falta a 3 2
3 dias e 5 2
3 minutos para uma semana?
Solução:
Uma semana são 7 dias ou, desdobrando, 6 dias, 23 horas, 59 minutos e 60 segundos.
3
2
3
dias são 3 dias e 16 horas e 5
2
3
minutos são 5 minutos e 40 segundos.
Subtraindo-se, temos:
6 d ------- 23 h ------- 59 min ------- 60 s
3 d ------- 16 h ------- 5 min ------- 40 s
3 d ------- 7 h ------- 54 min ------- 20 s
Resp.: 3 dias, 7 horas, 54 minutos e 20 segundos
POTENCIAÇÃO
127) Calcular 2 3 + 32
Solução:
Na soma e na subtração de potências o cálculo é feito entre cada base e seu respectivo expoente.
2 3 + 3 2 = 8 + 9 = 17
Resp.: 17
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128) Calcular 23 - 52 + 18
Solução:
2 3 - 5 2 + 18 = 8 - 25 + 18 = 26 - 25 = 1
Resp.: 1
129) Calcular 7 5 ´ 7 3
Solução:
Conserva-se a base e faz-se a soma dos expoentes.
7 5 ´ 7 3 = 7 8
Resp.: 78 (Obs.: 7 5 ´ 7 3 = 7 ´ 7 ´ 7 ´ 7 ´ 7 ´ 7 ´ 7 ´ 7 ou
78 )
130) Calcular 5
3
4 ´ 5
5
6
Solução:
Aplica-se a mesma regra do expoente positivo;
3
4
5
6
9 10
12
19
12
+ =
+
= ;
5
3
4 ´ 5
5
6 = 5
19
12
Resp.: 5
19
12
131) Calcular o valor de x na igualdade: 74 ´ 7x ´ 7 2 = 79
Solução:
1. 4 + 2 = 6
2. 9 - 6 = 3
Resp.: x = 3
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132) Efetuar 5 2 ´ 7 2
Solução:
Sendo iguais os expoentes multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente;
5 2 ´ 7 2 = 35 2
Obs.: 5 2 ´ 7 2 = 5 ´ 5 ´ 7 ´ 7 = (5 ´ 7) ´ (5 ´ 7) = 35 ´ 35 = 35 2
Resp.: 352
133) Efetuar 23 ´ 32
Solução:
As bases são diferentes e o mesmo acontece aos expoentes; a operação é feita entre a base e seu
respectivo expoente;
2 3 ´ 3 2 = 8 ´ 9 = 72
Resp.: 72
134) Efetuar 75 ¸ 73
Solução:
7 5 ¸ 7 3 = 7 2 ® conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
Justificativa 7 7 7 7 7
7 7 7
7 ´ ´ ´ ´ 2
´ ´
= ® que se obtém, suprimindo-se os fatores iguais.
Resp.: 72
135) Efetuar 152 ¸ 52
Solução:
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente:
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15 2 ¸ 5 2 = 3 2
Justificativa 15 15
5 5
3 3
1 1
3 3 3 ´ 2
´
=
´
´
= ´ =
Resp.: 32
136) Efetuar 82 ¸ 43
Solução:
A operação é feita entre cada base e o respectivo expoente.
8 2 ¸ 4 3 = 64 ¸ 64 = 1
Resp.: 1
137) Efetuar 3
5
3
4
¸ 3
5
2
3
Solução:
Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes:
3
4
2
3
9 8
12
1
12
- =
-
=
3
5
3
4
¸ 3
5
2
3
= 3
5
1
12
Resp.: 3
5
1
12
138) Calcular o valor de x: 513 ¸ 5x = 57
Calcular:
X é o que deve subtrair de 13 para se obter 7 ou 13 - 7 = 6
Resp.: 6
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139) Efetuar 70 = ..........
Solução:
Toda quantidade, diferente de zero, elevada a zero, é igual a 1:
7 0 = 1
Justificativa: faz-se a divisão de 7 elevado a qualquer potência por si mesmo a essa potência:
7 2 ¸ 7 2 = 7 2 - 2 = 7 0 ;
Toda quantidade (7 2 ) dividida por si mesma (7 2 ) é igual a 1;
7
7
2
2 = 1
7 2 ¸ 7 2 = 7
7
2
2 ou 7 0 = 1
Resp.: 1
140) Calcular o valor de 5-2
Solução:
Toda quantidade elevada a um expoente negativo é igual ao inverso dessa quantidade com o
expoente tornado positivo; 5 -2 = 1
52 .
Justificativa: faz-se a divisão de duas potências da base 5, sendo o expoente do dividendo inferior
em duas unidades ao expoente do divisor: 5
5
3
5 ; conserva-se a base e subtraem-se os expoentes;
5 3-5 = 5 -2 ; a fração 5
5
3
5 pode ser simplificada;
5
1
5
2
2
-
e ,
iguais a uma terceira
5
5
3
5
são iguais entre si; logo, 5 -2 = 1
52 .
Observação: 3 - 5 = -2; número positivo pode ser considerado como aquilo que se tem e
negativo o que se deve; quem deve 5 e dá três por conta fica devendo 2 ou 3 - 5 = -2.
Resumo:
5
5
3
5 = 5 5 5
5 5 5 5 5
5
1
5
2
2
´ ´
´ ´ ´ ´
\ - =
Obs. \ é o sinal da conclusão que se lê ® donde.
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Resp.: 1
52
141) Efetuar (74 )3 5
Solução:
Basta multiplicar os expoentes e conservar a base:
(74 )3 5
= 7 60
Resp.: 760
142) Calcular 3
7
2
Solução:
Para se elevar uma fração ordinária a qualquer potência, eleva-se cada termo a essa potência:
3
7
2
= 3
7
2
2 = 9
49
.
Justificativa: o quadrado de 3
7
é o produto de 3
7
por 3
7
ou 9
49
.
Resp.: 9
49
143) Calcular 3 2
5
2
Solução:
Reduz-se o número misto a fração imprópria e, em seguida eleva-se cada termo ao quadrado:
3
2
5
17
5
289
25
11
14
25
2 2
=
= =
Resp.: 11 14
25
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144) calcular (0,009) 2
Solução:
Eleva-se a parte significativa (9) ao quadrado e obtém 81; no resultado haverá tantos algarismos
decimais quantos são o produto do número de decimais da fração dada pelo expoente da potência,
isto é, 3 ´ 2 = 6;
(0,009) 2 = 0,000081
Resp.: 0,000081
145) Calcular (35 ´ 74 ´ 116 ) 2
Solução:
Multiplica-se o expoente de cada base pelo expoente da potência:
(3 5 ´ 7 4 ´ 11 6 ) 2 = 310 ´ 7 8 ´ 1112
Justificativa: o quadrado de 3 5 ´ 7 4 ´ 11 6 é o produto de 2 fatores iguais, isto é,
3 5 ´ 7 4 ´ 11 6 ´ 3 5 ´ 7 4 ´ 11 6 ou 310 ´ 7 8 ´ 1112
Resp.: 310 ´ 7 8 ´ 1112
146) Calcular 1.0003
Solução:
O cubo de 1 ou qualquer potência de 1 é sempre 1; o número de zeros obtém-se, multiplicando-se o
número de zeros à direita da unidade pelo expoente da potência, isto é, 3 ´ 3 ou 9.
1.000 3 = 1.000.000.000
Resp.: 1.000.000.000
147) Calcular 50.0003
Solução:
Eleva-se a parte significativa (5) ao cubo e obtém-se 125; multiplica-se o número de zeros à direita
de 5, pelo expoente da potência, isto é, 4 ´ 3 ou 12, que é o número de zeros que são escritos à
direita de 125; 50.000 3 = 125.000.000.000.000
Resp.: 125.000.000.000.000
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148) Verificar se 324 é quadrado.
Solução:
Fatora-se 324;
324 = 2 2 ´ 3 4
Resp.: é quadrado, prque os expoentes de seus fatores primos
são pares.
149) Verificar se 1728 é cubo.
Solução:
1. Fatora-se 1728;
2. 1728 = 2 6 ´ 3 3 .
Resp.: é cubo, porque os expoentes dos fatores primos são
múltiplos de 3.
150) A diferença entre os quadrados de dois números inteiros
consecutivos é 85. Calcular esses números.
Solução:
1. a diferença dos quadrados corresponde a soma dos números dados;
2. em vista dessa propriedade o problema reduz-se ao seguinte; “a soma de dois números é 85 e a
diferença deles é 1” (porque são consecutivos);
3. 85 - 1 = 84
4. 84 ¸ 2 = 42 ® o menor
5. 42 + 1 = 43 ® o maior
Verificação: 43
2
= 1849
42 2 = 1764
Resp.: 42 e 43
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RAIZ QUADRADA
RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO
REGRA
1. Divide-se o número dado em classes de dois algarismos, a partir da direita, podendo a 1.ª classe
(à esquerda) conter um ou dois algarismos);
2. Extrai-se a raiz quadrada da 1.ª classe, à esquerda, e obtém-se o 1.° algarismo da raiz;
3. Eleva-se esse algarismo ao quadrado e subtraem-se da 1.ª classe, obtendo-se o 1.° resto;
4. À direita do 1.° resto escreve-se a classe seguinte e separa-se, por um ponto, o 1.° algarismo (à
direita);
5. Divide-se a parte à esquerda pelo dobro da raiz e obtém-se o 2.° algarismo da raiz;
6. Para se experimentar se esse algarismo é conveniente (ou se é forte), ele é escrito à direita do
dobro da raiz e o resultado é multiplicado por ele mesmo;
7. O produto subtrai-se do 1.° resto e obtém-se o 2.° resto; para se obter o 3.° algarismo da raiz (e
os outros) faz-se o que se fez para a obtenção do 2.° algarismo da raiz;
8. A raiz terá tantos algarismos, quantas são as classes, em que o número se decompõe.
Exemplo:
28.32 53
25
3 32 103 ´ 3 = 309
3 09
0,23
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Prova real: eleva-se a raiz ao quadrado e soma-se ao resto; o resultado deverá ser igual ao número
dado:
53 2 + 23 = 2809 + 23 = 2832
Resp.: raiz 53; resto 23
Prova dos nove: tiram-se os nove fora da raiz; eleva-se o resultado ao quadrado e tiram-se,
novamente, os nove fora; o que se obtiver é somado aos nove fora do resto; o resultado deverá ser
igual aos nove fora do número dado.
1. 5 + 3 = 8
2. 8 2 = 64 ® os nove fora 1;
3. 1 2 = 1 ® os nove fora 1;
4. 2 + 3 = 5 ® os nove fora 5;
5. 1 + 5 = 6;
6. 2832 ® os nove fora 6
Resp.:
6
6
151) Qual o menor número que devemos subtrair de 637 para
torná-lo quadrado?
Solução:
Extraindo a raiz de 637, acharemos 25 e o resto 12, justamente o número que deve ser subtraído. Se
elevarmos 25 ao quadrado, isto é, 25 ´ 25, acharemos 625, que é igual a 637 - 12.
Resp.: 12
152) Qual o menor número que devemos juntar a 198 para ter
um quadrado?
Solução:
Extraindo a raiz quadrada de 198, achamos 14 e o resto, 2. O quadrado imediato é o de 15, que é
15 ´ 15 = 225. 225 - 198 = 27, o número que devemos juntar a 198.
Resp.: 27
153) A soma das raízes de 0,0625 e de 0,000196 é . . .
Solução:
Para extrairmos raiz quadrada de números decimais é necessário que o número de casas decimais
seja par. Se não for, devemos acrescentar um zero.
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Extrair-se a raiz como se fosse de inteiro e, na raiz, separa-se um número de casas decimais igual à
metade das casas decimais do número dado.
Raiz quadrada de 0,0625 = 0,25.
Raiz quadrada de 0,000196 = 0,014.
Soma 0,25 + 0,014 = 0,264.
Resp.: 0,264
154) A diferença de dois quadrados consecutivos é 11. Qual a sua
soma?
Solução:
A diferença entre dois quadrados consecutivos é igual à soma das respectivas raízes.
Portanto 11 1
2
6
+
= , a maior raiz.
A outra raiz é 5. A soma dos quadrados é:
5 ´ 5 + 6 ´ 6 = 61.
Resp.: 61
155) A raiz quadrada de um número é 18 e o resto é o maior
possível. Qual o número?
Solução:
O maior resto possível é o dobro da raiz, portanto o número procurado é 18 ´ 18 + 36 = 360.
Resp.: 360
156) O que é necessário para que a unidade seguida de zeros
forme um quadrado?
Resp.: O número de zeros seja par.
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SISTEMA MÉTRICO
157) O perímetro de um terreno retangular é de 96 metros. A
comprimeto é o triplo da largura. Calcular a área desse terreno.
Solução:
1. perímetro é a soma dos lados;
3
2. 1 1 representa-se a largura por 1; o comprimento será 3;
3
3. 3 + 3 + 1 + 1 = 8; o perímetro corresponde a oito vezes a largura e esta é 96 ¸ 8 ou 12; o
comprimento é o triplo da largura: 12 ´ 3 ou 36;
4. a área é obtida, multiplicando-se o comprimento pela largura: 36 ´ 12 ou 432.
Resp.: 432 m2
158) Uma varanda tem 4,5 m de comprimento por 3,6 m de
largura. Quantos tacos de madeira com 3 dm de comprimento por
20 cm de largura serão precisos para assoalhar essa varanda?
Solução:
1. reduzem-se as dimensões da varanda a dm: 4,5 m = 45 dm; 3,6 m = 36 dm;
2. Calcula-se a área: 45 dm ´ 36 dm = 1620 dm2 ;
3. calcula-se a área de cada taco; 3 dm ´ 2 dm = 6 dm2 ;
4. para se obter o número de tacos, basta dividir a área da varanda pela área de cada taco:
1620 dm2 ¸ 6 dm2 = 270
Resp.: 270
159) Um reservatório tem metro e meio de comprimento, 12 m de
largura e 80 cm de altura. Calcular sua capacidade em hectolitros
Solução:
1. reduz-se o comprimento e altura a dm; 1,5 m = 15 dm; 80 cm = 8 dm;
2. calcula-se o volume do reservatório, multiplicando-se as três dimensões:
15 dm ´ 12 dm ´ 8 dm = 1440 dm3 ;
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3. 1 dm3 = 1 litro; portanto, 1440 dm3 valem 1440 litros; convertem-se 1440 litros em hl.
Resp.: 14,40 hl
160) Um terreno retangular tem 600 m2 de área e 12 metros de
largura. Calcular o perímetro desse terreno.
Solução:
1. divide-se a área pela largura e obtém-se o comprimento: 600 ¸ 12 = 50;
2. os lados opostos são iguais; 50 ´ 2 = 100; 12 ´ 2 = 24;
3. o perímetro é: 100 + 24 ou 124.
Resp.: 124 m
161) Num tanque cheio d’água mergulha-se um corpo que tem
0,64 m de comprimento, 5 dm de largura e 40 cm de altura.
Quantos litros d’água sairão?
Solução:
1. reduz-se a dm o comprimento e a altura; 0,64 m = 6,4 dm; 40 cm = 4 dm;
2. multiplica-se as três dimensões: 6,4 dm ´ 5 dm ´ 4 dm = 128 dm3 ;
3. 128 dm3 correspondem a 128 litros.
Resp.: 128
162) Um reservatório cheio d’água contém 12960 litros. Calcular
a altura desse reservatório, sabendo-se que o comprimento é de
4,5 m e a largura é de 360 cm.
Solução:
1. converte-se comprimento e largura em dm: 4,5 m = 45 dm; 360 cm = 36 dm;
2. acha-se a área, multiplicando-se o comprimento pela largura: 45 dm ´ 36 dm = 1620 dm2 ;
3. 12960 litros valem 12960 dm3 ;
4. calcula-se a altura, dividindo-se o volume pela área: 12960 ¸ 1620 = 8.
Resp.: 8 dm
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163) Quanto tempo gastará uma pessoa para percorrer 12,600
km de uma estrada, sabendo-se que dá 80 passos por minuto,
medindo cada um 70 cm?
Solução:
1. 70 cm ´ 80 = 5600 cm ou 56 m ® por minuto;
2. 12,600 km = 12600 metros;
3. 12600 ¸ 56 = 225;
4. reduzem-se 225 minutos a horas: 225 min 60
45 3 h
Resp.: 3 h e 45 min
164) Um tanque contém 2,45 hectolitros de óleo cuja densidade é
0,8. Calcular o valor desse óleo, à razão de R$ 3,00 o kg.
Solução:
1. 2,45 hl = 245 litros;
2. 1 litro do óleo pesa 0,8 kg e 245 litros pesarão: 0,8 ´ 245 ou 196 kg;
3. R$ 3,00 ´ 196 = R$ 588,00.
Resp.: R$ 588,00
165) Cada litro de sementes dá para semear 4 m2 de um campo
retangular que tem 12 dam de comprimento. Calcular a largura
desse campo, sabendo-se que foram lançados 1500 litros de
sementes.
Solução:
1. se 1 litro dá para 4 m2 , 1500 litros darão para 1500 ´ 4 ou 6000 m2 ;
2. 12 dam = 120 m:
3. divide-se a área do campo pelo comprimento e obtém-se a largura: 6000 m2 ¸ 120 m = 50 m.
Resp.: 50 m
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166) Um barril cheio de vinho pesa 300 kg, inclusive o peso do
barril, que é de 15 kg. Calcular a capacidade desse barril, sabendose
que a densidade do vinho é de 0,950.
Solução:
1. 300 kg - 15 kg = 285 kg ® peso do vinho;
2. 1 litro de vinho pesa 0,950 kg;
3. divide-se o peso do vinho (285 kg) pelo peso de um litro de vinho (0,950 kg) e acha-se a
capacidade do barril: 300 litros.
Resp.: 300 litros
167) Duas latas cheias d’água pesam 19,8kg. Uma delas contém
mais 3 litros que a outra. Calcular a capacidade de cada uma,
sabendo-se que as duas latas vazias pesam 48 hg.
Solução:
1. 48 hg = 4,8 kg;
2. 19,8 kg - 4,8 kg = 15 kg ® peso da água contida nas duas latas;
3. 15 kg = 15 litros;
4. 15 l - 3 l = 12 l;
5. 12 ¸ 2 = 6 ® capacidade de uma das latas;
6. 6 + 3 = 9 ® capacidade da outra lata.
Resp.: 9 litros e 6 litros
168) Uma pessoa anda 8 hm em 10 minutos e outra 57,6 dam em
8 minutos. Quantos metros percorrerá a mais ligeira que a outra,
no fim de 45 minutos?
Solução:
1. 8 hm = 800 m;
2. 800 metros em 10 minutos ou 80 metros por minuto;
3. 57,6 dam = 576 m;
4. 576 metros em 8 minutos ou 72 metros por minuto;
5. a 1.ª percorre, por minuto, mais que a 2.ª, 8 metros: 80 - 72 = 8;
6. nos 45 minutos, percorrerá mais que a 2.ª: 8 m ´ 45 ou 360 m.
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Resp.: 360 metros
169) Uma sala retangular tem 4,8 m de comprimento e 3,5 m de
largura. Deverá ser pavimenteda com tacos de madeira que custam
R$ 40,00 o cento. Em cada m2 são empregados 60 tacos e a mão de
obra é paga à razão de R$ 5,00 o m2 . Qual é o custo da
pavimentação da sala?
Solução:
1. calcula-se a área da sala: 4,8 m ´ 3,5 m = 16,80 m2 ;
2. em cada m2 há 60 tacos e em 16,80 m2 haverá: 60 ´ 16,80 = 1.008 tacos;
3. cada taco custará: R$ 40,00 ¸ 100 ou R$ 0,40;
4. 1.008 tacos custarão: R$ 0,40 ´ 1.008 ou R$ 403,20;
5. a mão de obra custa R$ 5,00 o m2 e o trabalho todo custará: R$ 5,00 ´ 16,80 ou R$ 84,00;
6. R$ 403,20 (custo dos tacos) + R$ 84,00 (mão de obra) = R$ 487,20.
Resp.: R$ 487,20
170) Um depósito, de forma cúbica, tem 1,2 m em cada dimensão.
Está cheio d’água. Quantas latas de 24 litros cada uma se podem
encher?
Solução:
1. calcula-se o volume do depósito: 12 dm ´ 12 dm ´ 12 dm = 1.728 dm3 ou litros;
2. divide-se a capacidade do depósito pela capacidade de cada lata: 1.728 ¸ 24 = 72.
Resp.: 72 latas
171) Trocam-se 45 kg de café a R$ 3,00 o quilo por um certo
número de litros de vinho a R$ 3,6 o litro. Quantos litros se
recebem?
Solução:
1. calcula-se o preço dos 45 kg de café: R$ 3,00 ´ 45 = R$ 135,00;
2. faz-se a divisão de R$ 135 pelo preço de um litro de vinho (R$ 3,6) e o resultado é 37,50.
Resp.: 37,50
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172) Um depósito d’água tem 9 m3 de volume. Está cheio. Tiramse,
por dia, 50 baldes de 20 litros cada um. Em quantos dias se
esgota o depósito?
Solução:
1. 9 m3 valem 9.000 litros;
2. 20 litros ´ 50 = 1.000 litros ® n.° de litros d’água dos 50 baldes;
3. 1.000 litros são tirados num dia e 9.000 litros em 9.000 ¸ 1.000 ou 9 dias.
Resp.: 9 dias
173) Um depósito tem 6 m de comprimento, 45 dm de largura e
4m de altura contém 54 hl de óleo (não está cheio). Cada litro do
óleo pesa 950 gramas. Calcular, em toneladas, o peso do óleo e a
altura a que ele se eleva no depósito.
Solução:
1. 54 hl = 5.400 litros; se um litro do óleo pesa 950 gramas, os 5.400 litros pesarão: 950 g ´
5.400 ou 5.130.00 g, que valem 5.130 kg ou, ainda, 5,13 toneladas;
2. calcula-se a área da base do reservatório: 60 dm ´ 45 dm = 2.700 dm2 ;
3. para se obter a altura que o óleo atinge no depósito, basta dividir o volume do óleo (5.400 dm3 )
pela área da base do reservatório (2.700 dm2 ) e o resultado é 2 dm ou 0,2 m.
Resp.: 5,13 t; 0,2 m.
174) Dois terrenos têm dois metros de perímetro cada. O 1.° é
quadrado e o 2.° retangular, tendo 100 metros de comprimento.
Calcular a área de cada terreno.
Solução:
1. 300 m ¸ 4 = 75 m ® lado do quadrado;
2. 75 m ´ 75 m = 5625 m2 ® área do quadrado;
3. 100 m + 100 m = 200 m ® soma dos dois lados maiores e iguais do retângulo;
4. 200 m ¸ 2 = 100 m ® um dos lados maiores do retângulo;
5. 300 m - 200 = 100 m ® soma dos outros dois lados do retângulo;
6. 100 m ¸ 2 = 50 m ® um do lados menores do retângulo;
7. 100 m ´ 50 m = 5000 m2 ® área do retângulo.
Resp.: 5625 m2 e 5000 m2
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175) Um barril vazio pesa 45 kg e cheio de óleo pesa 72 kg.
Calcular o número de barris que se podem encher com o óleo
contido em 3/5 de um reservatório em forma de um
paralelepípedo retângulo, cujas dimensões são: 1,5 m de
comprimento, 12 dm de largura e 60 cm de altura, sabendo-se que
1 dm3 pesa 0,75 kg.
Solução:
1. 72 kg - 45 kg = 27 kg ® peso do óleo de um barril;
2. 1,5 m = 15 dm; 60 cm = 6 dm;
3. calcula-se o volume do reservatório: 15 dm ´ 12 dm ´ 6 dm = 1080 dm3 ;
4. 3
5
de 1080 dm3 = 648 dm3 ;
5. se um dm3 do óleo pesa 0,75 kg, os 648 dm3 pesarão: 0,74 kg ´ 648 ou 486 kg;
para se calcular o número de barris, divide-se o peso total (486 kg) pelo peso do óleo de um barril
(27 kg) e o resultado é 18.
Resp.: 18 barris
176) Numa viagem de automóvel um passageiro consultou o
relógio, no momento em que passava no marco quilométrico
número 18. Eram 8 horas. Verificou-se a parada do automóvel no
marco 26, às 8 horas e 4 minutos. Calcular a velocidade do
automóvel.
Solução:
1. do marco 18 ao 26 há 8 km;
2. a diferença entre 8 h 4 minutos e 8 h é de 4 minutos;
3. em 4 minutos o percurso foi 8 km; num minuto foi 8 ¸ 4 ou 2 km; em 60 min (1 hora) o
percurso foi 2 km ´ 60 ou 120 km.
Resp.: 120 km/h
177) Uma pessoa comprou 180 metros de tecido e dividiu esse
comprimento em três peças. A primeira com 75 m, a sgunda com
55 m e a terceira foi revendida à razão de R$ 6,00 o metro. Calcular
o preço de revenda da terceira peça.
Solução:
1. 75 m + 55 m = 130 m ® as duas primeiras peças;
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2. 180 m - 130 m = 50 m ® comprimento da 3.ª peça;
3. R$ 6,00 ´ 50 = R$ 300,00 ® revenda da 3.ª peça.
Resp.: R$ 300,00
178) Em um depósito cúbico com 2 m de aresta, colocaram um
bloco cúbico com 1 m de aresta. Em hl qual o espaço vago?
Solução:
1. capacidade: depósito ® 2 m ´ 2 m ´ 2 m = 8 m3
bloco ® 1 m ´ 1 m ´ 1 m = 1 m3
2. 8 m3 - 1 m3 = 7 m3 ou 70 hl ® espaço vago.
Resp.: 70 hl
179) Uma sala retangular, tem 6 m por 12 m e vai ser ladrilhada
com ladrilhos retangulares com 0,15 ´ 0,24 m. Quantos ladrilhos
são necessários?
Solução:
1. calcula-se a área da sala: 6 ´ 12 = 72 m2 ;
2. calcula-se a área de cada ladrilho: 0,15 ´ 0,24 = 0,0360 m2 ;
3. para se obter o número de ladrilhos, basta dividir a área da sala pela área de cada ladrilho:
72 m2 ¸ 0,0360 m2 = 2000
Resp.: 2000
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RAZÕES E PROPORÇÕES
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180) Num concurso inscrevem-se 350 candidatos. Há 28
reprovados. Calcular a razão do número de reprovados para o total
de candidatos.
Solução:
Basta indicar a divisão do número de reprovados para o total : 28
350
e simplificar: 2
25
.
Resp.: 2 para 25
181) A razão de dois números é 4/7. O menor é 36. Calcular o
maior.
Solução:
1. divide-se 36 por 4 e o quociente (9) multiplica-se por 7;
2. 4
7
36
63
® .
Resp.: 63
182) A razão de dois números é 4/9 e a soma deles é 65. Calcular
esses números.
Solução:
somam-se os termos da razão dada: 4 + 9 = 13; divide-se 65 por 13 e o quociente 5 multiplica-se
por 4 e por 9: 5 ´ 4 = 20; 5 ´ 9 = 45.
Resp.: 20 e 45
183) Na proporção a
4
15
b = , calcular o produto de (a) por (b).
Solução:
1. o produto dos meios é 4 ´ 15 ou 60;
2. o produto dos extremos (ab) é, também, 60, de acordo com a propriedade fundamental.
Resp.: 60
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184) Em uma proporção contínua, os extremos são 10 e 22,5.
Determinar os meios.
Solução:
1. proporção contínua é aquela cujos meios ou cujos extremos são iguais.
2. determina-se os meios de uma proporção contínua, extraindo-se a raiz quadrada do produto dos
extremos. Temos: 10 ´ 22,5 = 15
Resp.: 15 e 15
185) Qual a proporção contínua cujos meios são 4 e 144?
Solução:
4 ´ 144 = 24. A proporção é: 4 : 24 :: 24 : 144.
Resp.: 4
24
24
144 =
186) Calcular a quarta proporcional entre 8 ..... 12 e 10.
Solução:
1. quarta proporcional é um dos termos em relação aos outros três: 8
12
10
x
= ;
2. x
12 10
8
= 15
´
= .
Resp.: 15
187) Calcular a média proporcional entre 9 e 16.
Solução:
1. média proporcional é qualquer um dos termos comuns de uma proporção contínua;
2. escreve-se x como os meios iguais e 9 e 16 como extremos;
3. 9
x
x
16
=
4. x ´ x = 9 ´ 16;
5. x 2 = 144;
6. x = 144 ;
7. x = 12.
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Resp.: 12
188) Calcular a terceira proporcional ente 4 e 10.
Solução:
1. terceira proporcional é o último termo de uma proporção contínua;
2. 4 é o 1.° termo da proporção contínua; 10 é o 2.° e o 3.°; x é o 4.°;
3. 4
10
10
x
= ;
4. x = 10 10
4
´ = 25.
Resp.: 25
189) O produto dos termos de uma proporção contínua é 1296. O
primeiro termo é igual a terça parte da soma dos meios iguais.
Escrever a proporção.
Solução:
1. escreve-se x no lugar dos meios iguais: .....
x
x
.....
= ;
2. o produto dos meios é x 2 ;
3. o produto dos extremos, sendo igual ao produto dos meios, será também, x 2 ;
4. x 2 ´ x 2 = 1296;
5. x 4 = 1296;
6. x = 4 1296 ;
7. a raiz quarta é decomposta em duas raízes quadradas: x = 1296 ;
8. Extrai-se a raiz quadrada de 1296, que é 36 e, do resultado, extrai-se a raiz quadrada:
x = 1296 = 36 = 6;
9. a proporção já tem os meios calculados: .....
6 .....
6 = ;
10.O 1.° termo de acordo com o enunciado, é igual a terça parte da soma dos meios iguais:
6 6
3
12
3
4
+
= = ;
11.escreve-se a proporção com os termos já calculados: 4
6
6
.....
= ;
12.o 4.° termo é 6 6
4
´ ou 9.
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Resp.: 4
6
6
9 =
190) Na proporção 5
x
15
y = , calcular x e y, sendo x + y = 36.
Solução:
1. propriedade: sendo a proporção a
b
c
d
= ⇒
a c
b d
a
b
+
+
= ;
2. aplicando a propriedade ao problema, temos: 5 15
x y
5
x
+
+
= ;
3. 20
36
5
x
= ;
4. x = 5 36
20
´ = 9;
5. Substitui-se x por 9 na proporção dada e tira-se o valor de y: 5
9
15
y
= ;
6. y = 9 15
5
´ = 27.
Resp.: x = 9; y = 27
191) Calcular a média aritmética dos números: 1/5, 0,6 e
0,222. . .
Solução:
1. somam-se os números e divide-se o resultado por 3:
A =
1
5
0 6 0 222
3
1
5
3
5
2
9
3
9 27 10
45
3
1
46
45
3
1
46
45
1
3
46
135
+ +
=
+ +
=
+ +
= = ´ =
, , ....
.
Resp.: 46
135
192) Calcular a média geométrica de 1 1
4 e 0,032.
Solução:
1. extrai-se a raiz quadrada do produto dos números dados:
G = 1
1
4
´ 0,032 = 5
4
32
1000
´ = 1
25
= 1
5
.
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Resp.: 1
5
193) Calcular a média harmônica de 12, 15, 20.
Solução:
1. divide-se o número deles (3) pela soma dos inversos dos números dados;
H = 3
1
12
1
15
1
20
3
5 4 3
60
3
12
60
3
1
60
12
15
+ +
= + + = = ´ = .
Resp.: 15
194) Calcular a média ponderada de 5 e 8, sendo os respectivos
pesos 2 e 3.
Solução:
1. multiplica-se cada número por seu peso e divide-se a soma dos produtos pela soma dos pesos;
P = 5 2 8 3
3 2
10 24
5
34
5
6
4
5
´ + ´
+
=
+
= = .
Resp.: 6 4
5
195) A média aritmética de dois números é 6,5 e a geométrica é 6.
Calcular a média harmônica desses mesmos números.
Solução:
1. a média aritmética, a geométrica e a harmônica formam uma proporção contínua em que os
meios iguais são a média geométrica e os extremos são a aritmética e a harmônica:
a
g
g
h
=
2.
6
1
2
6
6
h
= ; h = 6 6
13
2
36
1
2
13
72
13
5
7
13
´
= ´ = = .
Resp.: 5 7
13
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196) Um automóvel percorre 60 km por hora durante 3 horas, 75
km por hora durante 2 horas e 40 km por hora durante 5 horas.
Calcular a velocidade média.
Solução:
1. os km representam os números e os tempos os pesos; calcula-se a média ponderada;
P = 60 3 75 2 40 5
3 2 5
180 150 200
10
530
10
53
´ + ´ + ´
+ +
=
+ +
= = .
Resp.: 53 km por hora
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REGRA DE TRÊS
Quatro metros de tecido custam R$ 20,00. Calcular o custo de 6
metros. Crescendo o número de metros, o número de reais,
também, crescerá e as quantidades metros e reais são chamadas
diretamente proporcionais.
Se 8 livros custam R$ 200,00, quanto custarão 6 livros?
Diminuindo o número de livros, o número de reais, também,
diminuirá e as quantidades livros e reais, são, ainda, diretamente
proporcionais.
Se 12 operários gastam 45 dias para fazer um trabalho, quantos
dias gastarão 18 operários?
Aumentando o número de operários, o número de dias diminuirá e
as quantidades operários e dias são chamadas inversamente
proporcionais.
Seis operários gastam 15 dias para fazer um trabalho. Quantos
dias gastarão 4 operários?
Diminuindo o número de operários o número de dias aumentará e
as quantidades operários e dias, são, ainda, inversamente
proporcionais.
Eis o quadro representativo das grandezas consideradas:
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D I
197) 4 metros de tecido custam R$ 18,00. Quanto custarão 6
metros?
Solução;
1. escreve-se o dispositivo da regra de três;
4 m ........................................ R$ 18,00
6 m ........................................ x
2. a relação entre os metros é a mesma que há entre os reais e a proporção é 4
6
18
x
= ;
o valor de x é 6 18
4
´ ou 27.
Resp.: R$ 27,00
198) Seis operários gastam 15 dias para fazer um trabalho.
Quantos dias gastarão 10 operários?
Solução:
6 op. ........................................ 15 d
10 op. ........................................ x
A regra de três é inversa: mais operários ® menos dias;
a proporção é 6
10 15
= x ; calcula-se o valor de x: x = 6 15
10
9
´
= .
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Resp.: 9 dias
199) 4 metros e meio de tecido custam R$ 72,00. Calcular o custo
de 60 cm.
Solução:
4,5 m = 450 cm
450 cm ........................................ R$ 72,00
60 cm ........................................ x
A regra é direta: menos cm ® menos reis;
A proporção é 450
60
72 =
x
; calcula-se x: x = 60 72
450
9 6
´
= , .
Resp.: R$ 9,60
200) Um trem, com a velocidade de 60 km por hora, percorre certa
distância em 12 horas. Que tempo levará, se a velocidade passar a
80 km por hora?
Solução:
Veloc. Tempo
60 km ........................................ 12 h
80 km ........................................ x
A regra é inversa: mais velocidade ® menos tempo;
A proporção é 60
80 12
= x ; calcula-se x: x = 60 12
80
9
´
= .
Resp.: 9 horas
201) Um operário, cuja capacidade de trabalho é expressa por 4,
gasta 6 horas para concluir uma tarefa. Que tempo levará outro
operário, cuja capacidade seja 3?
Solução:
Cap. Tempo
4 ........................................ 6 h
3 ........................................ x
A regra é inversa: menos capacidade ® mais tempo;
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{
{
A proporção é 4
3
x
6
= ; calcula-se x: x = 4 6
3
8
´
= .
Resp.: 8 horas
202) Um navio tem suprimentos para 400 homens durante 12
dias. Quantos dias deverão durar os suprimentos, se o número de
homens crescer de 1/5?
Solução:
1. 1
5
de 400 = 80;
2. 400 + 80 = 480;
400 h ........................................ 12 d
480 h ........................................ x
A regra é inversa: mais homens ® menos dias;
a proporção é 400
480
x
12
= ; calcula-se x: x = 400 12
480
10
´
= .
Resp.: 10 dias
203) Um operário faz um trabalho em 6 horas. Juntamente com
outro ele seria capaz de fazer os 3/4 desse trabalho em 3 horas.
Em quanto tempo o segundo operário faria os 3/5 desse trabalho?
Solução:
1. 3
4
do trabalho em 3 h; x = 4 3
3
4
´
= ;
4
4
do trabalho em x; os dois juntos fazem o trabalho todo em 4 horas;
2. 1
4
® parte do trabalho que os dois fazem em 1 hora;
1
4
1
6
3 2
12
1
12
- =
-
= ® parte do trabalho que o 2.° faz em 1 hora;
3. 1
12
trab.......................... 1 h
3
5
trab.......................... x; x =
1
3
5
1
12
3
5
1
12
3
5
12
1
36
5
´
= = ´ = ;
4. decompondo 36
5
horas: 36 h ¸ 5 = 7,2;
7 horas e 0,20 horas ou 7 horas e 0,2 ´ 60 = 12 min;
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Resp.: 7 horas e 12 min
204) Doze operários fizeram, em 30 dias a metade de um
trabalho. No fim desse tempo três operários deixaram o trabalho.
Em que tempo os restantes poderão concluir o trabalho?
Solução:
1. 12 - 3 = 9
2. 12 op. ...................... 30 d 1/2 trab.
9 op. ...................... x 1/2 trab.
A regra é inversa: menos operários ® mais tempo;
A proporção é 12
9
x
30
= ; calculando x: x = 12 30
9
40
´
= .
Resp.: 40 dias
205) Uma, pessoa trabalhando 6 horas por dia, gasta 12 dias para
fazer um trabalho à máquina. Quantas horas ela deverá trabalhar
por dia, se quiser concluir três dias antes?
Solução:
1. 12 - 3 = 9
2. 12 d. ...................... 6 h
9 d. ...................... x
A regra é inversa: menos dias ® mais horas;
A proporção é 12
9
x
6
= ; calculando x: x = 12 6
9
8
´
= .
Resp.: 8 horas
206) Um doente quer passar 15 dias numa estação balneárea
gastando R$ 150,00 por dia. Querendo ficar mais três dias,
qual deverá ser sua despesa diária, não dispondo de mais
recursos?
Solução:
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15 d ...................... R$ 150,00
18 d ...................... x
A regra é inversa: mais dias ® menor despesa
A proporção é 15
18 150
= x ; calculando x: x = 15 150
18
125
´
= .
Resp.: R$ 125,00
207) Um criador tem milho para alimentar 48 aves durante 12
dias. No fim de dois dias ele compra mais 32 aves. Se a ração não é
diminuída, para quantos dias deverá durar o milho restante?
Solução:
1. 12 - 2 = 10;
48 + 32 = 80;
2. 48 aves ......................... 10 dias
80 aves ......................... x;
A regra é inversa: mais aves ® menos dias;
x = 48 10
80
6
´
= .
Resp.: 6 dias
208) Um hotel de 60 hóspedes tem gêneros para 47 dias. No fim
da primeira quinzena chegam mais 4 hóspedes. Quantos dias
deverão durar os gêneros restantes, se o hotel não fizer novo
abastecimento durante os 47 dias?
Solução:
1. 47 - 15 = 32;
60 + 4 = 64;
2. 60 hósp ......................... 32 dias
64 hósp ......................... x;
A regra é inversa: mais hóspedes ® menos dias;
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60
64
x
32
= ; x = 60 32
64
30
´
= .
Resp.: 30 dias
209) Para marcar de mourões e arame farpado um dos lados de
um terreno, colocam-se 30 mourões separados um do outro por 2
metros. Quantos serão precisos, se a distância que os separa for
de 1,5 m?
Solução:
2 m ................................ 30 mour.
1,5 m ................................ x;
A regra é inversa: menor distância ® mais mourões;
2
1,5
x
30
= ; x = 2 30
15
40
´
=
,
.
Resp.: 40 mourões
210) Uma pessoa caridosa quer repartir certa quantia por 12
pobres, dando R$ 50,00 a cada um. Apresentando-se mais 3
pobres, quanto deverá receber cada um, conservando-se a mesma
quantia a repartir?
Solução:
12 pob........................... R$ 50,00
15 pob........................... x
A regra é inversa: mais pobres ® menos reais
A proporção é 12
15 50
= x ; calculando x: x = 12 50
15
40
´
= .
Resp.: R$ 40,00
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211) Um cão perssegue uma lebre, que tem sobre ele uma
dianteira de 48 saltos. O cão dá 6 saltos, enquanto a lebre dá 12.
Mas 4 saltos do cão valem 10 da lebre. Quantos saltos deve dar o
cão, para alcançar a lebre?
Solução:
1. 4 saltos (do cão) ............ valem ........... 10 (da lebre)
6 saltos (do cão) ............ valem ........... x;
x = 6 10
4
15
´
= ;
2. os 6 saltos do cão = 15 saltos da lebre; 15 - 12 = 3
3. para diminuir 3 saltos da lebre o cão dá 6 saltos e, para diminuir 48 (dianteira) dará x (saltos)
4 3 ............ 6
48 ............ x;
x = 48 6
3
96
´
= .
Resp.: 96
212) 36 operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 12 dias,
para fazer uma estrada de 48 km. Quantos dias gastarão 54
operários, trabalhando 6 horas por dia para abrir outra estrada de
72 km?
Solução:
36 op. ..................... 8 h ..................... 12 d ......................... 48 km
54 op. ..................... 6 h ..................... x ......................... 72 km
É uma regra de três composta;
1. apliquemos o método de redução à unidade; as quantidades conhecidas são combinadas com a
incógnita;
2. se 36 operários gastam 12 dias para fazer certo trabalho, 1 operário, para fazer o mesmo trabalho,
gasta mais tempo, isto é 36 ´ 12 e 54 operários gastarão menos tempo que 1 operário (54
vezes menos) ou 36 12
54
´ ; trabalhando 8 horas por dia, os operários gastam 36 12
54
´ dias;
trabalhando 1 hora por dia, gastarão mais tempo (8 vezes mais ou 36 12 8
54
´ ´ e trabalhando 6
horas por dia gastarão menos tempo (6 vezes menos) ou 36 12 8
54 6
´ ´
´
;
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para fazer 48 km, os operários gastam 36 12 8
54 6
´ ´
´
dias; para fazer 1 km gastarão menos dias
(48 vezes menos) ou 36 12 8
54 6 48
´ ´
´ ´
e para fazer 72 km gastarão mais dias (72 vezes mais) ou
36 12 8 72
54 6 48
´ ´ ´
´ ´
; feitos os cancelamentos, o resultado é 16.
Resp.: 16 dias
212) 24 operários trabalhando 6 horas por dia, durante 18 dias,
fazem uma estrada de 45 km num terreno de dificuldade 2, sendo a
capacidade dos operários expressa por 3. Quantos dias levarão 30
operários, trabalhando 8 horas por dia, para fazer uma estrada de
80 km, num terreno de dificuldade 5 e cuja capacidade dos
operários é expressa por 4?
Solução:
24 op .................... 6 h .................... 18 d .................... 45 km ................... 2 dif ..................... 3 cap
30 op .................... 8 h .................... x .................... 80 km ................... 5 dif ..................... 4 cap
x = 2 4 1 8 6 8 0 5 3
3 0 8 4 5 2 4
3 6 ´ ´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´
= ;
1. escreve-se 18 (quantidade da mesma espécie que x, no numerador);
2. 24 op. gastam 18 dias; 1 op. gastará mais dias (24 no numerador) e 30 op. gastarão menos dias
(30 no denominador);
3. trabalhando 6 horas por dia os op. gastam tantos dias; trab. uma hora por dia, gastarão mais dias
(6 no numerador) e trab. 8, gastarão menos ( 8 no denominador);
4. para fazer 45 km, os operários levam tantos dias; para fazer 1 km, levarão menos dias (45 no
denominador) e para fazer 80 km levarão mais dias (80 no numerador);
5. quando a dificuldade é 2, os op. levam tantos dias; quando a dificuldade é 1, levarão menos dias
(2 no denominador) e quando a dificuldade for 5, levarão mais dias (5 no numerador);
6. quando a capacidade dos op. é 3, eles levam tantos dias; quando a cap. é 1, eles levarão mais dias
(3 no numerador) e quando a cap. é 4 levarão menos dias (4 no denominador).
Resp.: 36 dias
Obs.: quando a capacidade (força, habilidade, experiência, prática) do operário diminui, ele passa a
levar mais tempo, para fazer um determinado trabalho.
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213) 36 operários trabalhando 8 horas por dia durante 12 dias,
abrem uma estrada de 15 km. Quantos dias de 6 horas, gastarão 48
operários, para abrir outra estrada de 20 km, supondo-se que os
operários da segunda turma são duas vezes mais produtivos que
os da primeira e que a dificuldade do primeiro trabalho está para a
do segundo, como 4 para 5?
Solução:
Representa-se por 1 a capacidade (ou produtividade da 1.ª por 4 e a da 2.ª por 5);
36 op ............ 8 h ............... 12 d ............. 15 km ............... 1 cap ................ 4 dif
48 op .............6 h ............... x ............. 20 km .............. 2 cap ................ 5 dif
x = 3 6 1 2 8 2 0 1 5
4 8 6 1 5 2 4
1 0
´ ´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´
= ;
1. 36 operários gastam 12 dias; 1 operário gasta mais dias ou 36 ´ 12 e 48 operários gastam
menos dias ou 36 12
48
´ ;
2. trabalhando 8 h por dia os operários levam tantos dias; trabalhando 1 hora por dia, levam mais
dias (8 no numerador e 6 no denominador);
3. para fazer 15 km os operários gastam tantos dias, para fazer 1 km gastam menos dias (15 no
denominador e 20 no numerador);
4. quando a capacidade é 1 os operários gastam tantos dias e quando for 2, gastarão menos dias, 2
vezes menos (2 no denominador);
5. sendo a dificuldade 4 os operários levam tantos dias; sendo a dificuldade 1, os operários levarão
menos dias (4 no denominador e 5 no numerador).
Resp.: 10 dias
214) Um automóvel, andando 8 horas por dia, percorre 9000 km
em 15 dias. Quantas horas ele deverá andar, por dia, para
percorrer 15000 km em 25 dias, diminuindo sua velocidade de
1/5?
Solução:
Representa-se a velocidade inicial por 5/5; diminuída de 1/5, fica reduzida a 4/5; eliminam-se os
denominadores iguais e as velocidade ficam: 5 e 4;
8 h ..................15 d .....................9000 km ................... 5 veloc.
x ..................25 d ...................15000 km ....................4 veloc.
x = 1 5 8 1 5 0 0 0 5
2 5 9 0 0 0 4
1 0
´ ´ ´
´ ´
= ;
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1. para percorrer uma distância em 15 dias, o automóvel deverá andar 8 horas por dia; para
percorrer a mesma distância em um dia deverá andar mais horas ou 15 ´ 8; 15 no numerador e
25 no outro termo da fração (o denominador);
2. para percorrer 9000 km, o automóvel deve andar 8 horas por dia; para percorrer 1 km, poderá
andar menos horas (9000 no denominador e 15000 no numerador);
3. quando a velocidade é 5, o automóvel deve andar tantas horas por dia; quando a velocidade é 1,
deverá andar mais horas (5 no numerador e 4 no denominador).
Resp.: 10 horas
215) Uma estrada de ferro cobra R$ 300,00 pelo transporte de 20
caixas de mercadorias, com um peso total de 750 kg e por um
percurso de 40 km. Quanto se deverá pagar pelo transporte de 32
caixas, de peso total de 900 kg, por um percurso de 60 km?
Solução:
20 cx ...................... 750 kg ........................... 40 km ............................. R$ 300,00
32 cx ...................... 900 kg ........................... 60 km ............................. x
x = 3 0 0 3 2 9 0 0 6 0
2 0 7 5 0 4 0
8 6 4
´ ´ ´
´ ´
= ;
1. para o transporte de 20 caixas a despesa é de 300 reais; para o de 1 caixa, será menor a despesa
(20 para o denominador 32 para o numerador);
2. por 750 kg pagam-se 300 cruzeiros; por 1 kg paga-se menos (750 para o denominador e 900 para
o numerador);
3. por 40 km pagam-se 300 reais; por 1 km para-se menos (40 no denominador e 60 no numerador).
Resp.: R$ 864,00
216) Doze operários gastam 20 dias para calçar um pátio que tem
15 metros de comprimento e 8 metro de largura; quantos dias
levarão 30 operários para calçar outro pátio de 18 metros de
comprimento e 6 metros de largura, se a atividade da segunda
turma corresponde aos 3/5 da atividade da primeira e que a
dificuldade do segundo trabalho é 1/3 maior que o do primeiro?
Solução:
1. representa-se a atividade do 1.° trabalho por 5/5; a do 2.° é 3/5; elimina-se os denominadores
iguais: 5 e 3;
2. representa-se a dificuldade do 1.° por 3/3; a do 2.° será 3/3 + 1/3 ou 4/3; eliminam-se os
denominadores iguais e ficam: 3 e 4;
3. escrevem-se os elementos da regra de três composta:
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12 op ............... 20 d ............... 15 m ................ 8 m .................. 5 at ................... 3 dif
30 op ............... x ............... 18 m ................ 6 m .................. 3 at ................... 4 dif
4. x = 1 2 2 0 1 8 6 5 4
3 0 1 5 8 3 3
1 6
´ ´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´
= .
Resp.: 16 dias
DIVISÃO PROPORCIONAL
217) Dividir 72 em partes proporcionais a 3 . . . 4 . . . . 5.
Solução:
1. 3 + 4 + 5 = 12
2. 72 ¸ 12 = 6
3. 6 ´ 3 = 18
4. 6 ´ 4 = 24
5. 6 ´ 5 = 30
Resp.: 18, 24 e 30
Obs.: as partes 3 . . . 4 . . . 5 chamam-se parâmetros; a divisão do número dado pela soma dos
parâmetros chama-se coeficiente de proporcionalidade.
218) Dividir 427 em partes proporcionais a: 0,75 . . . . 0,8 e 1,5.
Solução:
1. reduzem-se os parâmetros à mesma denominação: 0,75 . . . 0,80 e 1,5 e eliminam-se as
vírgulas: 75 . . . 80 . . . 150;
2. simplificam-se os parâmetros, dividindo-os por 5 ® 15 . . . 16 . . . 30;
3. 15 + 16 + 30 = 61
4. 427 ¸ 61 = 7
5. 7 ´ 15 = 105
6. 7 ´ 16 = 112
7. 7 ´ 30 = 210
Resp.: 105, 112 e 210
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219) Um número foi dividido em partes proporcionais a 5, 6 e 8.
O coeficiente de proporcionalidade é 5. Qual é esse número?
Solução:
1. 5 + 6 + 8 = 19
2. 19 ´ 5 = 95.
Resp.: 95
220) Um número foi dividido em partes proporcionais a 3, 5, 7 e
8. A soma das duas primeiras é 56. Calcular o número dado.
Solução:
1. 3 + 5 = 8
2. 56 ¸ 8 = 7
3. 3 + 5 + 7 + 8 = 23
4. 7 ´ 23 = 161.
Resp.: 161
221) Um número foi dividido em partes proporcionais a 4, 5 e 8.
Sabe-se que a segunda parte é 35. Calcular a primeira e a terceira.
Solução:
1. 35 ¸ 5 = 7
2. 7 ´ 4 = 28
3. 7 ´ 8 = 56.
Resp.: 28 e 56
222) Dividir 600 em três partes, tais que a segunda seja o triplo da
primeira e que a terceira seja o dobro do segunda.
Solução:
1. representa-se a primeira por 1; a segunda será 3; a terceira 6;
2. o problema dado reduz-se a este: dividir 600 em partes proporcionais a 1, 3 e 6.
3. 1 + 3 + 6 = 10
4. 600 ¸ 10 = 60
5. 60 ´ 1 = 60
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6. 60 ´ 3 = 180
7. 60 ´ 6 = 360
Resp.: 60, 180 e 360
223) A soma de três números é 99 e terceiro está para o primeiro
como 5 para 2 e a diferença deles é 27. Calcular os três números.
Solução:
1. 5 - 2 = 3
2. 27 ¸ 3 = 9
3. 9 ´ 2 = 18 ® 1.°
4. 9 ´ 5 = 45 ® 3.°
5. 18 + 45 = 63
6. 99 - 63 = 36 ® 2.°
Resp.: 18, 36 e 45
224)Dividir 72 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
Solução:
1. a divisão inversa transforma-se em direta; inversamente a 3 é o mesmo que diretamente ao
inverso de 3 que é 1
3
;
2. 1
3
, 1
4
, 1
6
;
3. reduzem-se as frações e denominadores iguais e eliminam-se os denominadores: 4
12
3
12
2
12
, , ;
4. 4 + 3 + 2 = 9
5. 72 ¸ 9 = 8
6. 8 ´ 4 = 32
7. 8 ´ 3 = 24
8. 8 ´ 2 = 16
Resp.: 32, 24 e 16
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225) Dividir 60 em partes proporcionais a 36, 45 e 54.
Solução:
1. Simplificam-se os parâmetros, dividindo-os por 9: 36 ¸ 9 = 4; 45 ¸ 9 = 5; 54 ¸ 9 =
6;
2. 4 + 5 + 6 = 15
3. 60 ¸ 15 = 4
4. 4 ´ 4 = 16
5. 4 ´ 5 = 20
6. 4 ´ 6 = 24
Resp.: 16, 20 e 24
226) Dividir 85 em três partes, de modo que a primeira seja
diretamente proporcional a 3 e 4, a segunda a 8 e 6 e a terceira a
6 e 7.
Solução:
1. multiplicam-se os números que representam as partes: 3 ´ 4 = 12; 8 ´ 6 = 48; 6 ´ 7 =
42
2. divide-se 85 em partes proporcionais a 12, 48 e 42;
3. simplificam-se os resultados: 12 ¸ 6 = 2; 48 ¸ 6 = 8; 42 ¸ 6 = 7;
4. 2 + 8 + 7 = 17;
5. 85 ¸ 17 = 5;
6. 5 ´ 2 = 10
7. 5 ´ 8 = 40
8. 5 ´ 7 = 35
Resp.: 10, 40 e 35
227) Três cidade têm respectivamente, 28.000, 35.000 e 42.000
habitantes. Elas devem fornecer 4.500 trabalhadores para a
abertura de uma estrada de rodagem. Quantos fornecerá cada
cidade?
Solução:
1. basta dividir 4.500 em partes proporcionais à populações;
2. simplificam-se os números que representam as populações (por 1.000 e por 7): 4, 5 e 6;
3. 4 + 5 + 6 = 15
4. 4.500 ¸ 15 = 300
5. 300 ´ 4 = 1.200
6. 300 ´ 5 = 1.500
7. 300 ´ 6 = 1.800
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Resp.: 1.200, 1.500 e 1.800
228) Dividir R$ 780,00 entre três pessoas. A primeira vai receber
tanto quanto as duas últimas reunidas, cujas partes são
inversamente proporcionais a 5 e 8.
Solução:
1. inversamente a 5 e 8 é o mesmo que diretamente a 1
5
1
8
, ;
2. inteirar: 8 e 5;
3. representa-se a 2.ª por 8, a 3.ª por 5 e a 1.ª é a soma das duas últimas ou 13;
4. divide-se 780 em partes proporcionais a 13, 8 e 5;
5. 13 + 8 + 5 = 26;
6. 780 ¸ 26 = 30;
7. 30 ´ 13 = 390
8. 30 ´ 8 = 240
9. 30 ´ 5 = 150
Resp.: R$ 390,00, R$ 240,00 e R$ 150,00
229) Três terrenos custaram R$ 47.000,00. Os comprimentos são
proporcionais a 3, 4 e 5 e as larguras a 6, 9 e 8. Calcular o valor
de cada terreno.
Solução:
1. multiplica-se o comprimento de cada terreno por sua respectiva largura: 3 ´ 6 = 18; 4 ´ 9 = 36;
5 ´ 8 = 40;
2. divide-se 47.000 em partes proporcionais aos produtos obtidos: 18, 36 e 40;
3. 18 + 36 + 40 = 94;
4. 47.000 ¸ 94 = 500;
5. 500 ´ 18 = 9.000;
6. 500 ´ 36 = 18.000;
7. 500 ´ 40 = 20.000.
Resp.: R$ 9.000,00, R$ 18.000,00 e R$ 20.000,00
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230) Repartir R$ 8.100,00 entre três pessoas, proporcionalmente
às suas idades. A parte da primeira é de R$ 1.800,00, a da segunda
R$ 2.700,00 e a da terceira R$ 3.600,00. Calcular a idade de cada
pessoa, sabendo-se que a soma das idades é de 90 anos.
Solução:
1. simplificam-se as quantias de cada pessoa (por 100 e por 9):
(1.800 ¸ 100) ¸ 9 = 2;
(2.700 ¸ 100) ¸ 9 = 3;
(3.600 ¸ 100) ¸ 9 = 4;
2. divide-se 90 em partes proporcionais a 2, 3 e 4;
3. 2 + 3 + 4 = 9;
4. 90 ¸ 9 = 10;
10 ´ 2 = 20 ® idade da 1.ª,
10 ´ 3 = 30 ® idade da 2.ª,
10 ´ 4 = 40 ® idade da 3.ª.
Resp.: 20 anos, 30 anos e 40 anos
PORCENTAGEM
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Determina-se a porcentagem, multiplicando-se o principal, isto é,
o elementos de que vamos deduzir a porcentagem, pela taxa e
dividindo-se o resultado por 100, isto é:
Porcentagem = P i
100
´
( i representa a taxa )
231) Uma casa de R$ 35.000,00 foi comprada com 20% de
abatimento. Quanto custou?
Solução:
35 000 20
100
7 000
.
.
´
= R$ (abatimento); R$ 35.000 - R$ 7.000 = R$ 28.000.
Resp.: R$ 28.000,00
-- 67 --
232) Um objeto comprado por R$ 45,50 foi vendido com 20% de
lucro. Por Quanto?
Solução:
Se foi vendido com 20% de lucro o vendedor recebeu 100% do valor mais 20%.
temos: 45 50 120
100
, ´
= R$ 54,60.
Resp.: R$ 54,60
233) Vendendo um objeto com 20% de prejuízo uma pessoa
recebeu R$ 52,00. Quanto lhe havia custado o objeto?
Solução:
Se vendeu com 20% de prejuízo só recebeu 80% do valor (100 - 20).
Temos: 52 100
80
´ = R$ 65,00.
Resp.: R$ 65,00
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234) Uma casa foi vendida com 20% de lucro por R$ 90.000.
Quanto havia custado?
Solução:
Se foi vendida com 20% de lucro, receberam por ela, os 100% do valor, mais 20% do lucro portanto
os R$ 90.000 correspondem a 120%. Se dividirmos R$ 90.000 por 120, teremos 1% do valor e se
multiplicarmos por 100, teremos o custo , isto é:
90 000 100
120
. ´ = 75.000
Resp.: R$ 75.000,00
235) Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo por R$ 51,00.
Quanto custou?
solução:
O valor do objeto são 100%. Com 15% de prejuízo, significa que receberam por ele 100 - 5 =
85%, que correspondem aos R$ 51,00. Temos: 51 100
85
´ = R$ 60,00.
Resp.: R$ 60,00
236) Uma casa foi vendida com 30% de lucro e outra igual com
34% também de lucro por mais R$ 280,00 do que a 1ª. Por quanto
foi vendida cada casa?
Solução:
A 2.ª foi vendida por mais 4% do que a 1.ª, ou sejam R$ 280,00. Pela primeira, o vendedor recebeu
130% e pela 2.ª, 134%.
Temos: 1.ª = 280 130
4
´ = R$ 9.100,00; 2.ª = 280 134
4
´ = R$ 9.380,00
Resp.: R$ 9.100,00 e R$ 9.380,00
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237) Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro igual
com 12% também de prejuízo, por mais R$ 72,00 do que o
primeiro. Por Quanto cada um?
Solução:
O 1.° foi vendido por 100% - 15% = 85% e o 2.° por 100% - 12% = 88%, isto é, o 2.° foi
vendido por mais 3% ou sejam R$ 72,00. Temos, então:
1.° = 72 85
3
´ = R$ 2.040; 2.° = 72 88
3
´ = R$ 2.112,00.
Resp.: R$ 2.040,00 e R$ 2.112,00
238) Um objeto foi vendido com 18% de prejuízo e outro com
12% também de prejuízo, por mais R$ 120,00. Por quanto cada
um?
Solução:
100% - 18% = 82%
100% - 12% = 88%
O 2° foi vendido por mais 6% ou sejam R$ 120,00
Temos:
1.° = 120 82
6
´ = R$ 1.640;
2.° = 120 88
6
´ = R$ 1.760.
Resp.: R$ 1.640,00 e R$ 1.760,00
239) Uma casa foi vendida com 15% de prejuízo e outra igual com
10% de lucro, por mais R$ 16.000,00 do que a primeira. Por
quanto foi vendida cada uma?
Solução:
Pela 1.ª, foram recebidos 85% (100 - 15) e pela 2.ª 110% (100 + 10). A diferença de 25% é
igual a diferença de preços, R$ 16.000. Temos:
1.ª = 16 000 85
25
. ´ = R$ 54.400;
2.ª = 16 000 110
25
. ´ = R$ 70.400.
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Resp.: R$ 54.400,00 e R$ 70.400,00
240) Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro igual
com 12% também de prejuízo, por mais R$ 120,00 do que o
primeiro. Por quanto cada um?
Solução:
O 1.° foi vendido por 100 - 15 = 85%.
O 2.° foi vendido por 100 - 12 = 88%.
O 2.° foi vendido por 88 - 85 = 3% mais do que o 1.° ou sejam R$ 120,00.
1% = R$ 120 ¸ 3 = R$ 40. O 1.° foi vendido por 85 ´ 40 = 3.400 e o 2.° por 88 ´ 40 =
R$ 3.520.
Resp.: R$ 3.400,00 e R$ 3.520,00
241) Uma casa foi vendida com 10% de prejuízo e outra igual com
30% de lucro, as 2 por R$ 88.000,00. Por quanto cada uma?
Solução:
1.ª ® 100 - 10 = 90%; 2.ª ® 100 + 30 = 130%.
As duas por 90 + 130 = 220%.
R$ 88.000 ¸ 220 = R$ 400.
1.ª ® 90 ´ 400 = R$ 36.000.
2.ª ® 130 ´ 400 = R$ 52.000.
Resp.: R$ 36.000,00 e R$ 52.000,00
242) Um corretor tem 6,5% de comissão nas vendas que realiza.
Da venda de uma casa recebeu R$ 2.600,00. Por quanto foi
vendida a casa?
Solução:
2 600 100
6 5
.
,
´ = R$ 40.000.
Resp.: R$ 40.000,00
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243) Um objeto de R$ 1.250,00 foi vendido com R$ 100,00 de
abatimento. Qual a taxa de abatimento?
Solução:
Taxa = 100 Porcent.
Principal
´ ⇒ i = 100 100
1250
´
.
⇒ i = 8%.
Resp.: 8 %
244) Uma casa de R$ 75.000 foi vendida por R$ 84.000. Qual a
taxa de lucro?
Solução:
R$ 84.000 - R$ 75.000 = R$ 9.000 (lucro ou porcentagem).
i = 100 9 000
75 000
´ .
.
= 12%.
Resp.: 12 %
245) Uma casa de R$ 20.000 e outra de R$ 25.000 foram vendidas
por R$ 58.500. Qual a taxa de lucro?
Solução:
As duas casas juntas valiam
R$ 20.000 + R$ 25.000 = R$ 45.000.
Foram vendidas por R$ 58.500 logo houve um lucro de R$ 58.500 - R$ 45.000 = R$ 13.500.
Determinemos a taxa:
i = 100 13 500
45 000
´ .
.
= 30%.
Resp.: 30 %
246) Uma casa foi vendida com 40% de lucro por mais R$ 12.000
do que o seu custo. Quanto custou?
Solução:
Os R$ 12.000 correspondem a 40% do valor da casa. Logo, se dividirmos R$ 12.000 por 40 e
multiplicarmos por 100, obteremos o valor da casa.
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12 000 100
40
. ´ = R$ 30.000.
Resp.: R$ 30.000,00
247) Uma casa de R$ 30.000 por quanto deve ser alugada para, em
10 anos, produzir 60% do seu valor?
Solução:
30 000 60
100
. ´ = R$ 18.000.
Quanto a casa deve produzir em dez anos ou sejam 12 ´ 10 = 120 meses. Logo deve ser alugada
por R$ 18.000 ¸ 120 = R$ 150.
Resp.: R$ 150,00
248) Uma casa foi comprada por R$ 9.000 e paga anualmente 6%
de impostos. Por quanto deve ser alugada para que no final de 5
anos o proprietário possa reaver 40% do capital?
Solução:
1. 40% de R$ 9.000 = R$ 3.600 quantia que deve ser obtida em 5 anos ou 60 meses, ou sejam
R$ 3.600 ¸ 60 = R$ 60 mensais;
2. 6% de imposto anual = 9 000 6
100
. ´ = R$ 540;
3. mensalmente; 540 ¸ 12 = R$ 45;
4. deve ser alugada por: 60 + 45 = R$ 105
Resp.: R$ 105,00
249) Uma pessoa ganhava certa quantia em julho. Em agosto foi
aumentada em 20%. Em setembro teve outro aumento de 15%
sobre os novos vencimentos, tendo passado a ganhar R$ 207,00.
Quanto ganhava em julho e agosto?
Solução:
R$ 207,00 correspondem a 115% (100 + 15).
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207 100
115
´ = R$ 180 (ordenado de agosto).
R$ 180 correspondem a 120% do ordenado de julho. O ordenado em julho portanto, é
180 100
120
´ = R$ 150 (ordenado de julho)
Resp.: R$ 150,00 e R$ 180,00
250) Duas pessoas, A e B, ganharam num negócio R$ 660,00,
sendo que A deve receber mais 20% do que B. Qual a parte de cada
uma?
Solução:
A terá 100 + 20 = 120%
B terá 100%.
As duas juntas, 220% ou sejam R$ 660,00.
A ® receberá 660 120
220
´ = R$ 360.
B ® receberá 660 100
220
´ = R$ 300.
Resp.: R$ 360,00 e R$ 300,00
251) Uma Empresa ganha 15% nas vendas realizadas e, da sua
parte, dá 20% a um intermediário que, de um negócio, recebeu R$
1.800,00. Qual o valor do negócio?
Solução:
A pessoa recebeu 20% da parte da empresa ou sejam R$ 1.800,00, logo a parte da empresa foi de
1800 100
20
´ = R$ 9.000,00
que correspondem a 15% do total, que foi de:
9000 100
15
´ = R$ 60.000,00
Resp.: R$ 60.000,00
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252) Uma pessoa pagou 20% de uma dívida e, com R$ 7.200,00
pagou 30% do restante. Qual o valor da dívida?
Solução:
Se pagou 20%, ficou devendo 100 - 20 = 80%.
Pagou 30% do restante, isto é, 30% de 80% ou sejam 30 80
100
´ = 24% do total.
Logo os R$ 7.200,00 correspondem a 24%.
O total da dívida era 7 200 100
24
. ´ = R$ 30.000,00
Resp.: R$ 30.000,00
253) Uma pessoa percorreu 12% de uma estrada. Se andasse mais
1200 m, percorreria 16%. Qual a extensão da estrada?
Solução:
16 - 12 = 4, que correspondem a 1200 metros.
Temos: 1200 100
4
´ = 30.000 m, a extensão total.
Resp.: 30.000 m
254) Com 2 hl de água, encheram os 5% de um depósito. Em m3 ,
qual a capacidade?
Solução:
2 hl = 200 litros; 200 100
5
´ = 4000 litros = 4 m3 .
Resp.: 4 m3
LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
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Na venda de mercadorias, nos negócios, há duas modalidades de
lucro: tantos por cento sobre o preço de custo ou tantos por cento
sobre o preço de venda.
No primeiro caso, o lucro é calculado sobre o preço de custo da
mercadoria, no segundo caso, procura-se determinar um preço
com uma diferença sobre o custo que equivalha a tantos por cento
que se quer ganhar, em relação ao preço de venda.
No primeiro caso, temos uma simples operação comum de
porcentagem.
No segundo caso, determina-se o preço de venda, multiplicando o
custo por 100 e divide-se o produto por 100 menos a taxa de lucro
que se deseja obter, temos:
Preço de venda = 100
100
´
-
custo
taxa de lucro
255) Um objeto de R$ 300,00 por quanto deve ser vendido para
produzir 30% de lucro?
Solução:
Não havendo nenhuma indicação, o lucro é calculado sobre o custo. Temos:
300 130
100
´ = R$ 390,00
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Resp.: R$ 390,00
256) Um objeto de R$ 180,00 por quanto deve ser vendido para
deixar 10% de lucro sobre o preço de venda?
Solução:
Nesse caso, o preço de venda deve ser tal que dê um lucro equivalente a 10% dele. Temos:
Venda = 100 180
100 10
´
-
= R$ 200,00
Realmente, vendendo-se por R$ 200,00 há um lucro de R$ 20,00 que correspondem a 10% do preço
de venda
Resp.: R$ 200,00
257) Uma casa de R$ 40.000,00 por quanto deve ser vendida para
obter-se 20% de lucro, sobre o preço de venda?
Solução:
Preço de venda = 100 40 000
100 20
´
-
. = R$ 50.000,00
Resp.: R$ 50.000,00
258) Uma casa de R$ 60.000,00 vendida com 25% de lucro sobre
o preço de venda, que taxa de lucro produz sobre o preço de custo?
Solução:
Preço de venda = 100 60 000
100 25
´
-
. = R$ 80.000,00
Sobre o preço de custo, há um lucro de: R$ 80.000 - R$ 60.000 = R$ 20.000
Vejamos esse lucro a que taxa corresponde do preço de custo. Temos:
i = 100 20 000
60 000
´ .
.
= 33,33%.
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Resp.: 33,33 %
259) Um objeto de R$ 1.500,00 foi vendido com 40% de lucro.
Qual a taxa sobre o preço de venda?
Solução:
1500 140
100
´ = R$ 2.100.
Lucro: R$ 2.100 - R$ 1.500 = R$ 600.
Taxa de lucro sobre a venda: 100 600
2100
´
.
= 28,57%
Resp.: 28,57 %
260) Por quanto deve ser vendido um objeto de R$ 500,00 para
obter-se um lucro de 25%?
Solução:
500 125
100
´ = R$ 625,00.
Resp.: R$ 625,00
JUROS
261) Qual é o capital que, aplicado a uma taxa de 6%, em 5 anos,
rende
R$ 7.350,00 de juros?
Solução:
Capital = 100 ´
´
juros
taxa tempo
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C = 100 7 350
6 5
´
´
. = R$ 24.500,00
Resp.: R$ 24.500,00
262) Quais os juros de R$ 12.600,00 a 6%, em oito anos?
Solução:
Juros = capital ´ taxa ´ tempo
100
J = 12 600 6 8
100
. ´ ´ = R$ 6.048,00
Resp.: R$ 6.048,00
263) R$ 30.000,00 foram aplicados durante quatro anos e
produziram R$ 7.800,00 de juros. Qual a taxa?
Solução:
Taxa = 100 ´
´
juros
capital tempo
i = 100 7 800
30 000 4
´
´
.
.
= 6,5%
Resp.: 6,5 %
264) R$ 12.000,00 aplicados a 8% durante três anos e quatro
meses, quanto produzem?
Solução:
3 anos e 4 messes = 40 meses.
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Quando o tempo é dado em anos e meses o denominador é 1.200 (12 ´ 100) na determinação dos
juros.
J = 12 000 8 40
1200
. ´ ´ = R$ 3.200,00.
Resp.: R$ 3.200,00
265) Em 20 de março de 1985, uma pessoa empregou R$
72.000,00, a 8%. Em 10 junho de 1990, que montante recebeu?
Solução:
Obs.: MONTANTE é a soma do capital com juros.
1990 ............... 6 ............... 10
1985 ............... 3 ............... 20
5 ............... 2 ............... 20 ® tempo de emprego do capital; equivale a 1880 dias.
J = 72 000 8 1880
36000
. ´ ´ = R$ 30.080,00
tempo em dias = (360 ´ 100)
R$ 72.000,00 + R$ 30.080,00 = R$ 102.080,00 ® montante .
Resp.: R$ 102.080,00
266) Qual o capital que empregado a 9%, durante cinco anos, seis
meses e vinte dias (ano comercial), produz R$ 6.000,00 de juros.
Solução;
5 anos, 6 meses, 20 dias = 2000 dias.
Capital = (100 360) 6000
9 2000
´ ´
´
= R$ 12.000,00
Resp.: R$ 12.000,00
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267) R$ 25.000,00 a 8% produziram R$ 10.000,00. Qual o tempo?
Solução:
Tempo = 100 ´
´
juros
taxa capital
T = 100 10000
8 25000
´
´
= 5 anos.
Resp.: 5 anos
268) Qual o capital que a 9%, em dois anos, nove meses e dez dias,
produz R$ 7.200,00?
Solução:
2 anos, 9 meses e 10 dias são iguais a 1000 dias. Como a taxa é ao ano e o tempo é em dias,
substituímos 100 por (100 ´ 360), ou 36.000. Temos:
C = 36000 7200
9 1000
´
´
= R$ 28.800,00
Resp.: R$ 28.800,00
269) Qual o capital que, a 8%, em 1 2
3 ano, produz R$ 3.600,00
Solução:
A taxa é ao ano e o tempo em meses, pois 1 2
3
ano = 20 meses, portanto temos que empregar 1200
em lugar de 100.
Temos: C = 1200 3600
8 20
´
´
= R$ 27.000,00
Resp.: R$ 27.000,00
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270) R$ 30.000,00, empregados a 12% produziram R$ 5.000,00.
Qual o tempo?
Solução:
100 5000
12 30000
´
´
= 1 a, 4 m e 20 d
Feita a 1.ª divisão, há um resto que multiplicamos por 12 e dividimos o resultado pelo mesmo
divisor, para achar meses. O 2.° resto, multiplicamos, por 30 e dividimos pelo mesmo divisor, para
achar dias.
Resp.: 1 ano, 4 meses e 20 dias
271) Uma pessoa empregou uma quantia a 8% e, no fim de cinco
anos, recebeu R$ 21.000,00 de montante. Qual o capital
empregado?
Solução:
O montante é a soma do capital com os juros. Determina-se o capital conhecendo-se o montante, o
tempo e a taxa com a fórmula:
C = 100 M
100 i t
´
+
Portanto: C = 100 21000
100 8 5
´
+ ´
= R$ 15.000,00
Resp.: R$ 15.000,00
272) Qual o capital que empregado a 6,5% durante quatro anos
produz R$ 37.800,00 de montante?
Solução:
100 37800
100 6 5 4
´
+ , ´
= R$ 30.000,00.
Resp.: R$ 30.000,00
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273) Uma quantia foi aplicada a 5% durante quatro anos. E o
montante aplicado a 6% em dois anos produziu, um segundo
montante de R$ 33.600,00.
Qual o capital inicial?
Solução:
Determinemos o capital que produziu o 2.° montante. Teremos:
100 33 600
100 6 2
´
+ ´
. = R$ 30.000,00.
Esta quantia é o 1.° montante. Determinemos, agora, o capital inicial. Temos:
100 30 000
100 5 4
´
+ ´
. = R$ 25.000,00.
Resp.: R$ 25.000,00
274) Uma pessoa aplicou uma quantia a 6% em cinco anos e o
montante a 12% em dois anos e recebeu R$ 8.060,00 de montante.
Qual o capital inicial?
Solução:
100 8060
100 12 2
´
+ ´
= R$ 6.500,00; 100 6500
100 6 5
´
+ ´
= R$ 5.000,00 ® capital inicial.
Resp.: R$ 5.000,00
275) Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 durante cinco anos, parte a
6% e parte a 8%, tendo recebido R$ 1.080,00 de juros. Qual a
parte aplicada a cada taxa?
Solução:
Imaginemos o capital todo aplicado à menor taxa. Teríamos de juros:
3000 6 5
100
´ ´ = R$ 900,00
Para os juros realmente obtidos, há uma diferença de 1080 - 900 = 180.
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Essa diferença ocorre, porque consideramos todo o capital aplicado a 6%, quando parte foi aplicada
a 8%, isto é, a mais 2%. A diferença de juros é conseqüência da diferença de taxas. Temos:
C = 100 180
2 5
´
´
= R$ 1.800,00 ® parte aplicada a 8%.
R$ 3.000,00 - R$ 1.800,00 = R$ 1.200,00 ® parte aplicada a 6%.
Resp.: R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00
276) R$ 4.000,00 foram aplicados durante cinco anos, parte a 6%
e parte a 10%, tendo produzido R$ 1.640,00 de juros. Qual a parte
aplicada a cada taxa?
Solução:
4000 6 5
100
´ ´ = R$ 1.200,00
10% - 6% = 4%; 1.640 - 1.200 = 440.
440 100
4 5
´
´
= R$ 2.200,00 ® parte a 10%.
4.000 - 2.200 = 1.800 ® parte a 6%.
Resp.: R$ 2.200,00 e R$ 1.800,00
277) Uma pessoa aplicou R$ 5.000,00 durante cinco anos, parte a
7% e parte a 10% e recebeu de juros R$ 2.050,00. Qual a parte
aplicada a cada taxa?
Solução:
5 000 7 5
100
. ´ ´ = R$ 1.750,00
R$ 2.050 - R$ 1.750 = R$ 300
10% - 7% = 3%. Vejamos qual o capital que a essa taxa, produz R$ 300,00.
C = 100 300
3 5
´
´
= R$ 2.000,00 ® parte aplicada a maior taxa (10%).
www.betaconcursos.com
R$ 5.000 - R$ 2.000 = R$ 3.000,00 ® parte aplicada a menor taxa (7%).
Resp.: R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00
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CORAÇÃO CINZA BANDEIRANTES : MEDINA NO PODCAST SGT CASTRO
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