MATEMÁTICA

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Unidade 1
Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio
1.1 Apresentação
Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de
experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que
entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os
estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam colocar suas
idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.
1.2 Simbologia Matemática mais usual
Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia:
a) = (igual à)
b) ¹ (diferente de)
c) f ou { } (conjunto vazio)
d) Î (pertence à)
e) Ï (não pertence à)
f) Ì (está contido)
g) Ë (não está contido)
h) É (contém)
i) É/ (não contém)
j) $ (existe pelo menos um)
k) $/ (não existe)
l) $| (existe e é único)
m) | (tal que / tais que)
n) Ú (ou)
o) Ù (e)
p) AÇ B (interseção dos conjuntos A e B)
q) AÈ B (união dos conjuntos A e B)
r) " (para todo e qualquer, qualquer que seja)
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s) ⇒ (implica)
t) Û (implica e a recíproca é equivalente)
u) \ (donde se conclui)
1.3 Conjuntos Numéricos
É lógico que, para a Matemática, os conjuntos de maior importância são aqueles formados por
números, e certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades das
operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:
a) N = {0, 1, 2, 3, 4, K}
é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
b) Z = {K, -3 , - 2, -1, 0, 1, 2, 3, K}
é o conjunto dos números inteiros.
c) Q
  
  
= =
q
p
x | x sendo p Î Z, q Î Z e q ¹0.
É o conjunto dos números racionais.
São exemplos de números racionais:
5
3 - ,
2
9 - ,
3
8 + , etc.
São exemplos de números irracionais: p = 3,14159K (pi), e = 2,71828K (base dos logaritmos
neperianos), 2 =1,41421K, 3 =1,73205K, etc.
d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais, e
costumamos associar tais números aos pontos de uma reta que, por definição, é infinita em ambos os
sentidos.
-¥ +¥
3
–3 –2 –1 0 1 2 3
2
2
2
1
1
3
Fig. 1.1 Representação gráfica de alguns elementos do conjunto R.
e) C = {z | z = x + jy}, sendo x Î R, y Î R e j = -1 , é o conjuntos dos números complexos (voltaremos
a tal assunto na seção 1.14).
Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do conjunto.
Assim, temos:
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f) N* = {1, 2, 3, 4, 5,K}= {x | xÎN e x ¹ 0}
é o conjunto dos números naturais.
g) Z* = {x | xÎ Z e x ¹ 0}
h) Q* = {x | xÎ Q e x ¹ 0}
i) R* = {x | xÎ R e x ¹ 0}
j) C* = {x | xÎ C e x ¹ 0}
Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os números
negativos dos conjunto.
k) Z+ = {x | xÎ Z e x ³ 0} =N
é o conjunto dos números inteiros não negativos.
l) Q+ = {x | xÎ Q e x ³ 0}
é o conjunto dos números racionais não negativos
m) R+ = {x | xÎ R e x ³ 0}
é o conjunto dos números reais não negativos.
Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os
números positivos do conjunto. Assim, temos:
n) Z- = {x | xÎ Z e x £ 0}
é o conjunto dos números inteiros não positivos.
o) Q- = {x | xÎ Q e x £ 0}
é o conjuntos dos números racionais não positivos.
p) R- = {x | xÎ R e x £ 0}
é o conjunto dos números reais não positivos.
Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z+ , Z- , Q+ , Q- , R+ , R- . Se excluímos o zero
destes conjuntos, teremos:
q) Z+
* = {x | xÎ Z e x > 0}
r) Z-
* = {x | xÎ Z e x < 0}
s) Q+
* = {x | xÎ Q e x > 0}
t) Q-
* = {x | xÎ Q e x < 0}
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u) R+
* = {x | xÎ R e x > 0}
v) R-
* = {x | xÎ R e x < 0}
O conjunto R+
* é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e R-
* é o
conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes.
Notemos a propriedade:
N* Ì Z Ì Q Ì R Ì C
isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e todo
número real é também complexo.
1.4 Operações com Números Relativos
· Ilustração 1.1: Números relativos
-¥ - 3 - 2 -1 0 1 2 3 + ¥
1.4.1 Soma ou Adição
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números;
quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o
deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai
alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes
do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que
o sinal será o de mais (+).
· ILUSTRAÇÃO 1.2
a) (+10) + (+2) = +10 + 2 = +12
b) (+10) + (-2) = +10 - 2 = +8
c) (-10) + (+2) = -10 + 2 = -8
d) (-10) + (-2) = -10 - 2 = -12
Quando devemos somar mais de dois números relativos o resultado é obtido somando
o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última
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parcela.
· ILUSTRAÇÃO 1.3
(+5) + (-3) + (-7) + (+3) + (+4) =
= (+2) + (-7) + (+3) + (+4) =
= (-5) + (+3) + (+4) =
= (-2) + (+4) = 2
Podemos também adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as
negativas e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos.
· ILUSTRAÇÃO 1.4
Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:
— soma das parcelas positivas:
— (+5) + (+3) + (+4) = +12
— soma das parcelas negativas:
— (-3) + (-7) = -10
— soma de ambos os resultados:
— (+12) + (-10) = +2
1.4.2 Subtração ou Diferença
Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do
número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior.
· ILUSTRAÇÃO 1.5
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a) (+10) - (+2) = +10 - 2 = +8
b) (+10) - (-2) = +10 + 2 = +12
c) (-10) - (+2) = -10 - 2 = -12
d) (-10) - (-2) = -10 + 2 = -8
Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a
seguir vale a seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre
resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre
à resultados negativos”.
1.4.3 Multiplicação
· Ilustração 1.6
a) (+10)´(+2) = +20
b) (+10) ´ (-2) = -20
c) (-10) ´ (+2) = -20
d) (-10) ´ (-2) = +20
1.4.4 Divisão
· Ilustração 1.7
a) (+10) ¸ (+2) = +5
b) (+10) ¸ (-2) = -5
c) (-10) ¸ (+2) = -5
d) (-10) ¸ (-2) = +5
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1.4.5 Potenciação
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta
operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o
produto de fatores iguais a este número, sendo representada por:
a p
Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é
positiva, qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de
expoente ímpar tem o sinal de base.
· Ilustração 1.8
a) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 16 4 + = + ´ + ´ + ´ + =
b) (-2)4 = (- 2)´ (- 2)´ (- 2)´ (- 2) =16
c) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 8 3 + = + ´ + ´ + =
d) (-2)3 = (- 2)´ (- 2)´ (- 2) = -8
Para executar a potenciação de um número relativo em uma minicalculadora, a
seqüência de operações é simples:
(a)Determinar 24 :
1.º) Digitamos a base (2)
2.º) Pressionamos a tecla
exponencial 


 yx
xy
(CASIO modelo fx-
82LB)
ou
(CASIO modelo fx-6300
G)



,
que depende do modelo da minicalculadora.
® expoente (n.º de repetições dos fatores iguais)
® base (é o número ou fator em questão)
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3.º) Digitamos o expoente (4)
4.º) Pressionamos a tecla
exponencial 


 =
EXE
(CASIO modelo fx –
82LB)
ou
(CASIO modelo fx –
6300G)



,
que depende do modelo da minicalculadora.
5.º) Vai aparecer o número 16 no visor da calculadora.
(b)Determinar ( )4 - 2 :
Primeiramente digitamos a base (–2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 – LB, por exemplo) digitamos o número 2 e depois
apertamos a tecla + - para trocar o sinal para menos. Em outras (CASIO fx – 6300G) apertamos a tecla – e depois digitamos o
número 2. O restante da seqüência de operações é igual a do item a: tecla exponencial, expoente...
A esta altura é interessante notar a diferença entre a potenciação
seqüencial e a potenciação escalonada, que serão analisadas logo a
seguir.
· Ilustração 1.9
a) Potenciação Seqüencial:
[(2)2 ]3= [4] 3= 64 , que também pode ser efetuada diretamente mantendose
a base e multiplicando-se os expoentes:
22´3 = 26 = 64
b) Potenciação Escalonada:
223 que pode ser entendida como 2
2
3
, ou seja:
223 28 256 = =
1.4.6 Radiciação
a) Raiz n-ésima de um número:
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Dizemos que um número “b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando
a = bn
e ela é representada por
n a = b
Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número.
Nas operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação.
Temos então:



O número " " é o índice do radical
O número " " é o radicando
O sinal é o radical
n
a
Assim sendo
9 = 3 porque 32 = 9
3 8 = 2 porque 23 = 8
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical.
b) Valor algébrico dos radicais:
Se o radicando é considerado em valor absoluto (módulo), a radiciação é uma
operação unívoca. No entanto, se este radicando é um número relativo a unicidade,
em alguns casos, não estará mais garantida e por isso vamos considerar três casos:
1.º) Índice par e radicando positivo.
Neste caso o radical admitirá duas raízes reais e simétricas no conjunto dos
números reais, bem como um par complexo conjugado (vide exercício proposto 39,
item j da seção 1.15).
2.º) Índice ímpar.
Sendo o índice do radical um número ímpar, temos uma raiz no conjunto dos
números reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n – 1) raízes no conjunto dos
números complexos (vide exercício proposto 38, item f, da seção 1.15).
3.º) Índice par e radicando negativo.
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Neste caso não existe nenhum valor do conjunto dos números reais que
elevado ao índice par seja igual ao radicando. Este assunto será abordado na seção
1.14.
· Ilustração 1.10
1.º caso
( )
( )
( )
( ) 


 


  
- = +
+ = ± + = +
  
- = +
+ = ± + = +
5 625
5 625
625 5 pois
8 64
8 64
64 8 pois
4
4
4
2
2.º caso ( )
( ) 


- = - - = -
+ = + + = +
32 2 pois 2 32
32 2 pois 2 32
5 5
5 5
3.º caso
  
- = ±
tal assunto será abordado na seção1.14
4 j e, conforme já mencionado
Observação: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de 9 , a resposta e
simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algébrico do 9 teremos então ± 3.
A determinação de raízes através de minicalculadoras é simples:
a) Determinar 4 625 :
a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB:
1.º) Digitamos o radicando 625
2.º) Pressionamos as teclas 2nd F e yx a fim de convocar a operação x y
3.º) Digitamos o expoente 4
4.º) Pressionamos a tecla =
5.º) O número 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se
desejamos o valor algébrico da raiz a resposta completa é ± 5.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.º) Digitamos o índice 4
2.º) Pressionamos a tecla x
3.º) Digitamos o radicando 625
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4.º) Pressionamos a tecla EXE
5.º) O número 5 aparece no visor
b) Determinar 5 - 32 :
a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB
1.º) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla + - para trocar o seu sinal
2.º) Pressionamos as teclas 2nd F e yx a fim de convocar a operação x y
3.º) Digitamos o índice 5
4.º) Pressionamos a tecla =
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.º) Digitamos o índice 5
2.º) Pressionamos a tecla x
3.º) Pressionamos a tecla - e depois o valor 32
4.º) Pressionamos a tecla EXE
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
Observação: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas de
modelos diferentes, são totalmente diferentes. O que não esperar de modelos de outros fabricantes?
Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua própria calculadora, a fim de se familiarizar
com o uso da mesma.
1.4.7 Produto e Divisão de Potências de Mesma Base
a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do denominador do
expoente do numerador.
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· Ilustração 1.11
a) 2
3
2
1
3 2 4
2
1
a3 ´ a2 ´ a 4 ´a = a = a - + - +
b) 8 5 3
5
8
b b
b
b = - =
c) 2 5 3
5
2
= x - = x-
x
x
d) 3 ( 4) 7
4
3
I I
I
I = - - =
-
1.4.8. Expoente Nulo
Toda potência de expoente nulo é igual à unidade.
Ilustração 1.12
a0 =1
Observação:
São exceções 00 e ¥0 , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de
indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites.
1.4.9 Expoente Negativo
Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o
denominador é a potência com o expoente positivo ou seja: n
n
a
a
1 - = . (1)
· Ilustração 1.13
a)
16
1
2
1
2 4
-4 = =
b)
9
1
3
1
3 2
-2 = =
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Observações:
1ª) Em conseqüência do exposto anteriormente temos:
n
n
a
a - = 1
(2)
2ª) Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustração 11 por outro caminho:
3 4 7
4
3
I I I
I
I = ´ = -
1.4.10 Expoente Fracionário
Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da fração
e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:
q q p
p
a = a (3)
· Ilustração 1.14
Determinar os valores algébricos das seguintes operações:
a) 83 3 82 3 64 4
2
= = =
b) 162 16 4
1
= = ±
c)
2
1
4
1
4
1
4
2
1
2
1
= = = ± -
1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números
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· Ilustração 1.15
No Brasil: Nos E.U.A.:
a) 2 000 = 2 ´103* —® 2,000 = 2´103
b) 4 000 000 = 4 ´106 * —® 4,000,000 = 4´106
c) 0,0003 = 3´10-4 —® 0.0003 = 3´10-4
d) 0,025 = 25´10-3 —® 0.025 = 25´10-3
(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhões, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. Já há alguns anos aboliram-se os pontos
separatrizes de classes, mantendo-se agora um espaço entre as mesmas.
1.5 Produtos Notáveis
1.5.1 Quadrado de um binômio
a) (a + b)2 :
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
ou
2 2
2
2
a 2ab b
ab b
a ab
a b
a b
+ +
+ +
+
+
+
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (4)
b) (a - b)2 :
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2
ou
2 2
2
2
a 2ab b
ab b
a ab
a b
a b
- +
- +
-
-
-
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (5)
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1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles
(a + b) (a - b) :
(a + b) (a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2
ou
2 2
2
2
a b
ab b
a ab
a b
a b
-
- -
+
-
+
(a + b) (a - b) = a2 - b2 (6)
1.5.3 Cubo de um binômio
a) (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 ) =
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
ou
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2
2 2
3 3
2
2
2
a a b ab b
a b ab b
a a b ab
a b
a ab b
+ + +
+ +
+ +
+
+ +
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (7)
b) (a - b)3 = (a - b)(a - b)2 = (a - b)(a2 - 2ab + b2 ) =
= a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 =
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
ou
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3 2 2 3
2 2 3
3 2 2
2 2
3 3
2
2
2
a a b ab b
a b ab b
a a b ab
a b
a ab b
- + -
- + -
- +
-
- +
( )3 3 2 2 3 a - b = a - 3a b + 3ab - b (8)
· Ilustração 1.16
a) ( + ) = + ( )( ) + ( ) = 2 2 2 a 5x a 2 a 5x 5x
= a2 +10ax + 25x2
b) ( - ) = ( ) - ( )( )+ ( ) = 5x2 3y 2 5x2 2 2 5x2 3y 3y 2
= 25x4 - 30x2 y + 9y2
c) ( x + y )( x - y )= ( x ) - ( y ) = x - y 2 2
d) ( + ) = ( ) + ( ) ( )+ ( )( ) + ( ) = 3 3 2 2 3 2x 3y 2x 3 2x 3y 3 2x 3y 3y
= 8x3 + 36x2 y + 54xy2 + 27y3
e) ( - ) = - ( )( )+ ( )( ) - ( ) = 3 3 2 2 3 x 2y x 3 x 2y 3 x 2y 2y
= x3 - 6x2 y +12xy2 - 8y3
1.6 Equações
1.6.1 Equação do 1º Grau com uma Incógnita
Toda equação do 1º grau com uma incógnita pode ser reduzida a forma
az + b = 0 (9)
em que a ¹ 0 .
Sua solução é:
az + b = 0⇒ az = -b⇒
a
b
z = - (10)
EXEMPLO 1.1
Resolver as seguintes equações do 1º grau:
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a) 3z +1 = 7z - 3
b)
12
15
2
5 =
x
c)
4
6
2
3 =
y -
d) pz + q = 0 (sendo p ¹ 0)
Solução:
a) 3z +1 = 7z - 3 \
1
4
4
4 4
3 7 1 3
\ =
-
= -
- = - \
- = - - \
z z
z
z z
b) = \
12
15
2
5
x
( )
2
30
60
30 60
2 15 5 12
= \ =
= \
= ´ \
x x
x
x
c) = \
- 4
6
2
3
y
( )
4
6
24
6 24
6 12 12
6 2 3 4
= \ =
= \
- = \
- = ´ \
y y
y
y
y
d) pz + q = 0 \
p
q
z
pz q
= -
= - \
1.6.2 Equação do 2º Grau com uma Incógnita
A forma geral da equação do 2º grau com uma incógnita é:
az2 + bz + c = 0 (11)
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onde a ¹ 0 .
Vamos então transformar a equação em outra equivalente, de modo que o primeiro membro seja
um quadrado perfeito do tipo indicado na equação (4).
a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem:
az2 + bz = -c
b) Multiplicando por 4a , teremos:
4a2 z2 + 4abz = -4ac
c) Somando b2 aos dois membros, resulta:
4a2z2 + 4abz + b2 = b2 - 4ac
d) Verificando que o 1º membro é um quadrado perfeito, teremos:
(2az b)2 b2 4ac + = -
e) Extraindo as raízes quadradas de ambos os membros, obtemos:
= - ± - \
+ = ± - \
2 4
2 4
2
2
az b b ac
az b b ac
a
b
a
b b ac
z
2 2
= - ± 2 - 4 = - ± D (12)
que é a conhecida fórmula da Bhaskara, onde
D = b2 - 4ac .....(13)
é o discriminante da equação, e três casos podem ocorrer:
1º) D > 0 ⇒ teremos duas raízes reais e desiguais.
2º) D = 0 ⇒ teremos duas raízes reais e iguais.
3º) D < 0 ⇒ não teremos raízes no conjunto dos números reais, e este caso será abordado na seção
1.14.
Exemplo 1.2
Resolver as seguintes equações do 2º grau:
a) 2z2 + 5z - 3 = 0
b) 4z2 - 4z +1 = 0
c) z2 + 4z +13 = 0
Solução:
Beta Concursos
20
a)



= -
=
=
+ - = ⇒
3
5
2
2 2 5 3 0
c
b
a
z z
D = b2 - 4ac = 52 - 4´ 2´ (- 3) = 49
4
5 7
2 2
5 49
2
= - ±
´
= - ± D = - ±
a
b
z
2
1
4
2
4
5 7
1 z = - + = =
3
4
12
4
5 7
2 z = - - = - = -
b)



=
= -
=
- + = ⇒
1
4
4
4 2 4 1 0
c
b
a
z z
4 ( 4) 4 4 1 0 D = b2 - ac = - 2 - ´ ´ =
( )
8
4 0
2 4
4 0
2
= ±
´
= - ± D = - - ±
a
b
z
raiz dupla
2
1
8
4 0
2
1
8
4 0
2
1
 

 


= - =
= + =
z
z
c)



=
=
=
+ + = ⇒
13
4
1
2 4 13 0
c
b
a
z z
4 (4) 4 1 13 16 52 36 0 D = b2 - ac = 2 - ´ ´ = - = - <
e esta equação não admite raízes no campo real. Sua solução será apresentada na subseção 1.14.1
( 2 3 1 z = - + j e 2 3 2 z = - - j são as suas raízes).
1.7 Progressão Aritmética (P.A.)
1.7.1 Definição
É uma sucessão de termos
( , , , , , , , , , 1
termos
1 2 3 4 1 K
14444244443
K - n+
n
n n a a a a a a a )
finita ou infinita, sendo que, a partir do 2º termo inclusive, a diferença entre um termo qualquer e o
seu antecedente é igual a uma quantidade constante r, denominada razão da progressão, ou seja:
Beta Concursos
21
a a a a a a a a r n n n n - = - = = - = - = 2 1 3 2 -1 +1 K
As seguintes seqüências são exemplos de P.A.:
a) ( 2, 7, 12, 17, 22 ) 2 1 K ⇒ a = e r = 5
b) ( x x + t x + t x + t ⇒ a = x 1 , 2 , 4 , 6 K) e r = 2t
c) ( 5, 5, 5, 5, 5 ) 5 1 K ⇒ a = e r = 0
d) , 9 7
2
17
, 8,
2
15
7, 1 = ⇒ 




K a e
2
1 r =
e) (8, 5, 2, 1, 4 ) 8 1 - - K ⇒ a = e r = -3
1.7.2 Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r:
r > 0⇒P.A. crescente
r = 0⇒P.A. constante ou estacionária
r < 0⇒P.A. decrescente
1.7.3 Termo geral
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma:
( )
( )
a a r a a r a (n )r
a a r a a r a r r a r
a a r a a r a r r a r
a a r a a r
n n n n 1
2 3
2
1 1 1
4 3 4 3 1 1
3 2 3 2 1 1
2 1 2 1
- = ⇒ = + = = + -
- = ⇒ = + = + + = +
- = ⇒ = + = + + = +
- = ⇒ = +
- - L
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual à
posição do termo menos uma unidade, ou seja:
( )
( )
( )
a a (n )r
a a r a r
a a r a r
a a r a r
n 1
3 4 1
2 3 1
2 1
1
4 1 1
3 1 1
2 1 1
= = + -
= + = + -
= + = + -
= + = + -
L
O termo de ordem n da P.A. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
a a (n )r n 1 1 = + - (14)
Beta Concursos
22
que pode também ser obtida da seguinte maneira:
a a (n )r
a a r
a a r
a a r
a a r
n
n n
1 1
1
4 3
3 2
2 1
- = -
- =
- =
- =
- =
-
Somando membro a membro estas n – 1 igualdades obtemos a
expressão do termo de ordem n.
e
a a (n )r n 1 1 = + - (14)
que é a mesma equação anteriormente encontrada.
1.7.4 Propriedades
I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo precedente e o
termo seguinte.
Com efeito, se
K , , K n-1 n n+1 a a a
são termos consecutivos de uma P.A., então podemos escrever:
n n n n a - a = a - a -1 +1
ou seja,
1 1 2 - + = + n n n a a a
e
2
-1 +1 = n + n
n
a a
a (15)
II) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é constante e igual à
soma dos próprios extremos.
Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razão r, e A e B os termos eqüidistantes dos extremos,
conforme ilustrado a seguir:
(
1442443
K K
1442443
K
termos
1
termos
1 2 , , , , , , , ,
p
n n
p
a a A B a - a )
Pela fórmula do termo geral,
A a (p 1)r 1 = + - (16)
Beta Concursos
23
Considerando agora a progressão
1442443
K
termos
1 , , ,
p
n n B a - a
temos pela fórmula de termo geral,
a B (p )r n = + -1 (17)
Subtraindo (17) de (16) resulta:
A a a B n - = - 1
o que nos conduz a
n A + B = a + a 1 (18) C.Q.D
I) Em uma P.A. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média aritmética dos
extremos.
Neste caso temos:
(
144444424444443
1442443
K
1442443
K
P.A. com 2 1 termos
termos
1
termos
1 2 , , , , , , , ,
= +
-
n p
p
n n
p
a a A M B a a )
Pelas propriedades I e II temos:
2
A B
M = +
e
n A + B = a + a 1
Logo,
2
1 n a a
M = + (19) C.Q.D.
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Com relação a P.A.:
( , , , , , , , , 1
termos
1 2 3 2 1 K
1444442444443
K - - n+
n
n n n a a a a a a a )
podemos escrever:
n n n n S = a + a + a + + a + a + a 1 2 3 K -2 -1 (20)
ou, invertendo-se a ordem das parcelas,
Beta Concursos
24
1 2 3 2 1 S a a a a a a n n n n = + + + + + + - - K (21)
Somando (20) e (21) membro a membro obtemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 2S a a a a a a a a a a a a n n n n n n n = + + + + + + + + + + + + - - K - - , onde temos n
parênteses.
No entanto, pela propriedade II todos os parênteses são iguais a n a + a 1 .
Logo,
S (a a )n n n = + 1 2
e
( )
2
1 a a n
S n
n
+
= (22)
Observações:
1) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos S N n > , sendo N um número arbitrariamente grande.
Poremos:
lim = + ¥ n S
n®+¥
ou
®+ ¥ n S quando n ® + ¥
2) No caso de uma progressão decrescente, ilimitada, teremos as seguintes condições:
lim = - ¥ n S
n®+¥
ou
® - ¥ n S quando n®+ ¥
Exemplo 1.3
Calcule o 17: termo da P.A. (3, 8, 13, K)
Solução:
Temos que:
3 1 a = e r = 5
Beta Concursos
25
Logo,
(17 1) 16 3 16 5 83 17 1 1 a = a + - r = a + r = + ´ =
Exemplo 1.4
Calcule a soma dos doze primeiros números ímpares.
Solução:
Temos então:
(1, 3, 5, K)
Donde,
1 1 a = e r = 2 , logo
(12 1) 11 1 11 2 23 12 1 1 a = a + - r = a + r = + ´ =
( ) ( ) 144
2
1 23 12
2
12 1 12
12 = + ´ = + ´ = a a
S
Exemplo 1.5
No depósito de uma firma de informática, costuma-se empilhar as caixas de um determinado
equipamento em filas horizontais superpostas, conforme ilustrado na figura. Quantas dessas filas seriam
necessárias para empilhar 171 dessas caixas?
Fig. 1.2
Solução:
Temos uma P.A. representada por
(1, 2, 3, K)
Beta Concursos
26
onde, 1 1 a = e r = 1
Desejamos saber o n para o qual temos =171 n S .
Sabemos que:
( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
2
2 1
2
1
2
1 1 1 1 a a n a a n r n a n r n
S n
n
+ - ´
=
+ + -
=
+
=
Substituindo valores,
[ ( ) ]
[ ]
[ ]
342 0
342 ,
342 1 ,
342 2 1 ,
,
2
2 1 1 1
171
2
2
+ - =
= +
= +
= + -
= ´ + - ´
n n
n n
n n
n n
n n
que é uma equação do 2º grau para a qual a =1, b =1 e c = -342.
Assim sendo,
( )
19
18
2
1 37
2
1 1369
2 1
1 1 4 1 342
2
4
2
1
2 2
= -
=
= - ± = - ± =
=
´
= - ± - = - ± - ´ ´ -
n
n
a
b b ac
n
Como não existe número de fileiras negativo, só a 1ª raiz tem significado físico.
1.8 Progressão Geométrica (P.G.)
1.8.1 Definição
É uma sucessão de termos
( , , , , , , , , , 1
termos
1 2 3 4 1 K
1444442444443
K - n+
n
n n a a a a a a a )
finita ou infinita, sendo que , a partir do 2º termo inclusive, a razão entre um termo qualquer e o seu
antecedente é igual a uma quantidade constante q, denominada razão da progressão, ou seja:
q
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
= = = n = + =
-
1
2 1
3
1
2 K
As seqüências a seguir são exemplos de P.G.:
a) (1 , 4 , 16 , 64 , K) ⇒ 1 1 a = e q = 4
b) (x , xt 2 , xt 4 , xt 6 , K) ⇒ a = x 1 e q = t 2
c) (8 , 2 ,
2
1 ,
8
1 , K) ⇒ 8 1 a = e
4
1 q =
Beta Concursos
27
d) (7 , 7 , 7 , 7 , K) ⇒ 7 1 a = e q = 1
e) ( - 4 , 8 , -16 , 32 , K) ⇒ 4 1 a = e q = -2
1.8.2 Classificação



< < <
> >
0 e 0 1
ou
0 e 1
1
1
a q
a q
⇒ P.G. crescente



> < <
< >
0 e 0 1
ou
0 e 1
1
1
a q
a q
⇒ P.G. decrescente
1 "a e q < 0 ⇒ P.G. alternante
1 "a e q = 0 ⇒ P.G. constante ou estacionária
1.8.3 Termo geral
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.G. da seguinte forma:
q
a
a =
1
2 ⇒ a a q 2 1 =
q
a
a =
2
3 ⇒ ( ) 2
3 2 1 1a = a q = a q q = a q
q
a
a =
3
4 ⇒ ( ) 3
1
2
4 3 1 a = a q = a q q = a q
× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
q
a
a
n
n =
-1
⇒ 1
1 1 -
- = = = n
n n a a q K a q
Observe que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é a
razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja:
2 1
2 1 1 a = a q = a q -
3 1
1
2
3 1
a = a q = a q -
4 1
1
3
4 1
a = a q = a q -
× × × × × × × × × × × × × × ×
1
1 = = n-
n a K a q
Beta Concursos
28
O termo de ordem n da P.G. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
1
1
= n-
n a a q (23)
que pode também ser obtida da seguinte maneira:
   

   


=
=
=
=
-
q
a
a
q
a
a
q
a
a
q
a
a
n
n
1
3
4
2
3
1
2
Multiplicando membro a membro estas n -1igualdades
obtemos a expressão do termo de ordem n
1
3 1
4
2
3
1
2 -
-
´ ´ ´ ´ = n
n
n q
a
a
a
a
a
a
a
a
K
Fazendo os cancelamentos, obtemos:
1
1
n = qn-
a
a
o que nos leva a
1
1
= n-
n a a q (23)
conforme há havia sido deduzido anteriormente.
1.8.4 Propriedades
I) Numa P.G. cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo precedente e o
termo seguinte.
Realmente, se
n-1 Ka , n a , n+1K a
são termos consecutivos de uma P.G., então podemos escrever:
n
n
n
n
a
a
a
a 1
1
+
-
=
ou seja,
1 1
2
- + = ´ n n n a a a
e
-1 +1 = ± ´ n n n a a a . (24) C.Q.D. Onde os sinais (+) ou (–) são usados de acordo com as
características da P.G.
Beta Concursos
29
II) Numa P.G. limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos
extremos.
Seja então a P.G. limitada, com n termos, razão q, e A e B os termos eqüidistantes dos extremos,
conforme mostrado logo a seguir:
(
1442443
K K
1442443
K
termos
1
termos
1 2 , , , , , , , ,
p
n n
p
a a A B a - a )
Pela fórmula do termo geral,
1
1
A = a q p- . (25)
Considerando agora a progressão
1442443
K
termos
1 , , ,
p
n n B a - a
temos pela fórmula do termo geral,
= p-1
n a Bq . (26)
Dividindo as igualdades (25) e (26) membros a membro resulta:
B
a
a
A
n
= 1
o que nos leva a:
n AB = a ´ a 1 . (27) C.Q.D.
III) Em uma P.G. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média geométrica dos
extremos.
Neste caso temos:
(
144444424444443
1442443
K
1442443
K
P.G. com 2 1 termos
termos
1
termos
1 2 , , , , , , , ,
= +
-
n p
p
n n
p
a a A M B a a )
Pelas propriedades I e II temos:
M = AB
e
n AB = a ´ a 1
logo,
n M = ± a ´ a 1 . (28) C.Q.D.
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Com relação a P.G.
Beta Concursos
30
( , , , , , , , , , 1
termos
1 2 3 2 1 K
1444442444443
K - - n+
n
n n n a a a a a a a )
podemos escrever:
n n n n S = a + a + a + + a + a + a 1 2 3 K -2 -1 . (29)
Multiplicando ambos os membros por q resulta:
qS a q a q a q a q a q a q n n n n = + + + + + + 1 2 3 K -2 -1
o que é equivalente a
2 3 4 -1 +1 = + + + + + + n n n n qS a a a K a a a (30)
Subtraindo (30) de (29) temos:
1 +1 - = - n n n S qS a a
ou já que n
n a a q 1 1 = + ,
n
n S q a a q 1 1 (1- ) = -
e
( ), ( 1)
1
1 1 ¹
-
= - q
q
a q
S
n
n (31)
Observações:
1.ª) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos S N n > , sendo N um número arbitrariamente grande.
Poremos,
lim = + ¥ n S
n®+¥
ou
®+ ¥ n S quando n ® + ¥
2.ª) Na hipótese da progressão decrescente q < 1,
( )
q
a q
q
a
q
a q
S
n n
n -
-
-
=
-
= -
1 1 1
1 1 1 1
se admitirmos que n®+¥ (cresça cada vez mais), a primeira parcela,
q
a
1-
1 , não sofre qualquer
modificação, enquanto que a segunda pode ser tomada tão próxima de zero quanto quisermos.
Poremos:
Beta Concursos
31
lim
n®+ ¥ q
a
Sn -
=
1
1 (32)
Exemplo 1.6
Determine o 10º termo da P.G. (1 , 2 , 4 , K)
Solução:
1 1 a = e q = 2
Logo,
(1) (2) 512 9 9
1
10 1
10 1 a = a q - = a q = =
Exemplo 1.7
Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.G. ( 2-2 , 2-1 , 20 , K)
Solução:
Temos:
4
1
2
1
2 2
2
1 a = - = = e 2 ( ) 2 2
2
2 1 2 1 2
2
1
= = - - - = - + =
-
-
q
Logo,
( ) ( )
=
-
-
=
-
= -
1 2
1 2
4
1
1
1
20
20
1
20 q
a q
S
= 262 143,75
Exemplo 1.8
Um barco patrulha está distante 65 milhas de um navio carregado de contrabando de armas
pesadas. Sabendo-se que ambas as embarcações estão seguindo o mesmo rumo (movimentos na mesma
direção e mesmo sentido) e que a velocidade do barco patrulha é o dobro da velocidade do navio, pede-se
calcular a distância que o barco deve percorrer para alcançar o navio.
Beta Concursos
32
Solução:
65mi
v
2
v
0 x
Fig. 1.3
Quando o barco patrulha tiver percorrido as 65 milhas iniciais, o navio terá percorrido
2
65 milhas,
uma vez que sua velocidade é a metade da do barco. Assim o barco terá que percorrer também
2
65
milhas. Quando o barco tiver percorrido estas últimas
2
65 milhas, o navio terá percorrido
4
65 milhas, e
assim por diante, de modo que a distância total a ser percorrida pelo barco é:
= + + mi +K
4
65
mi
2
65
65mi b x .
Temos pois uma P.G. decrescente ilimitada, para qual a 65 1 a = mi e
2
1 q = . Logo,
130
2
1
1
65mi
1
1 =
-
=
-
=
q
a
xb mi.
Claro, o estudante deve estar se perguntando: o problema não poderia ter sido pelos métodos da
Cinemática aprendidos na Física do 2º grau?
Sim, é claro! Senão vejamos:
As equações horárias dos movimentos são:
Barco  ® x vt b=
Navio ® t
v
xn 2
= 65 +
No encontro b n x = x
e
t
v
vt
2
= 65 + ,
Beta Concursos
33
65
2
- = vt
vt ,
65
2
= vt
e o tempo de encontro é:
v
t
130 = .
Voltando à equação do barco, temos então:
130
130 = = ´ =
v
x vt v b mi
e concluímos, mais uma vez, que o barco deve percorrer 130 mi para alcançar o navio.
Aí cabe uma outra pergunta: Por quê não termos utilizados diretamente o segundo método?
A resposta é simples: esta foi apenas uma ilustração de soma de parcelas, que são termos de
uma P.G., as quais vão se tornando cada vez menores.
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano
Este nome é em homenagem ao grande matemático francês René Descartes (Renatus Cartesius
em Latim).
Aqui em nosso curso vamos utilizar apenas as coordenadas cartesianas planas (duas dimensões)
e ortogonais, e isto nos leva a um sistema de eixos x e y, perpendiculares, que têm a mesma origem
comum, conforme ilustrado a seguir:
Beta Concursos
34
x
y
y
y
x
x
2º quadrante 1º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
P(x, y)
(+)
(-) (+)
0
(-)
Plano(p )
Fig. 1.4
A localização de um ponto P qualquer de uma plano (p ) genérico, fica então perfeitamente
determinada através de suas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada), e a representação genérica é
P(x, y). No caso presente o ponto genérico foi representado no 1º quadrante, onde x > 0 e y > 0 mas, de
um modo geral temos:
 

 


> < ⇒
< < ⇒
< > ⇒
> > ⇒
0 e 0 4º quadrante
0 e 0 3º quadrante
0 e 0 2º quadrante
0 e 0 1º quadrante
x y
x y
x y
x y
Temos também que se
i) x = 0⇒ ponto situado no eixo y
ii) y = 0⇒ ponto situado no eixo x
iii) x = y = 0⇒ ponto situado origem
Exemplo 1.9
Marcar em um diagrama cartesiano as localizações dos pontos a seguir:
(4,3) 1 P ; ( 2,5) 2 P - ; ( 3, 4) 3 P - - ; (2, 6) 4 P - ; (5,0) 5 P ; (0,4) 6 P
Solução:
Beta Concursos
35
x
y
0
1
2
3
4
5 ( 2, 5) 2 P -
( 3, 4) 3 P - -
(0, 4) 6 P
(2, 6) 4 P -
(4, 3) 1 P
(5, 0) 5 P
- 3 - 2 - 1
- 5
- 6
- 4
- 1
- 2
- 3
1 2 3 4 5
Fig. 1.5
1.10 Equação Reduzida da Reta
Em Geometria Analítica demonstra-se que toda equação do primeiro grau em x e y representa, no
plano, uma reta, ou seja:
y = mx + p (33)
onde m = tgα é coeficiente angular da reta, isto é, a tangente do ângulo que a mesma forma com a
direção horizontal (paralela ao eixo x), e p é o coeficiente linear, sendo igual à ordenada do ponto onde a
reta corta o eixo y. Por esta convenção teremos sempre 0 £ a < 180º.
Analisemos então algumas situações mostradas na figura 1.6. São evidentes as seguintes
propriedades:
1ª) Se a é agudo, então m é positivo, pois a tangente de um ângulo é sempre positiva no 1º quadrante.
2ª) Se a é obtuso, então m é negativo, pois a tangente de uma ângulo do 2º quadrante é negativa.
3ª) Se a é nulo, então m é nulo, pois a tg de 0 é nula e, neste caso, a equação da reta se reduz a
y = constante , uma vez que ela é paralela ao eixo x.
4ª) Se a é reto, então m não é definido, pois tg90º = $/ , e neste caso a equação da reta tem a forma
x = constante , uma vez que ela é paralela ao eixo y.
Beta Concursos
36
a = 90º
a
a
x
y
0
a é um
ângulo agudo
(0 <a < 90º)
x
y
0
a é um
ângulo
obtuso
(90º <a <180º)
x
y
0 x
y
0
a é um
ângulo
reto
(a = 90º)
a = 0
Fig. 1.6
É também oportuno, baseados no que se viu até então, listarmos algumas situações na figura 1.7,
lembrando que, se p = 0, a reta passa pela origem, e sua equação é da forma y = mx.
x
y
0
a
a
a
p
( 0 e 0) 1 R m > p >
a
a
a
( 0 e 0) 4 R m < p >
R5(m<0 e p =0)
R6(m<0 e p =0)
R2(m>0 e p =0)
R3(m>0 e p <0)
Fig. 1.7
Exemplo 1.10
Representar graficamente as seguintes retas:
Beta Concursos
37
a) 1 R : y = 2x +1
b) 2 R : 1
2
= - + x
y
c) 3 R : y = 2x
d) 4 R : y = 4
e) 5 R : x = 5
Solução:
As representações das retas 4 R e 5 R são imediatas. Entretanto, para as retas 1 R , 2 R e 3 R
vamos construir as tabelas a seguir onde os valores assumidos para x, ao serem substituídos nas
equações conduzem aos valores de y correspondentes. Bastaria um par de pontos para determinar cada
reta, uma vez que, por dois pontos do plano passa tão somente uma reta ou, em outras palavras: dois
pontos determinam uma reta. No entanto, a fim de que o estudante possa verificar, na prática, que uma
equação do 1.º grau em x e y representa uma reta, optamos por eleger três pontos para cada uma delas, e
concluir que, em cada caso, os três pontos estão alinhados ao longo de uma mesma direção, ou seja,
pertencem a uma mesma reta.
1 R 2 R 3 R
X y x y x y
0 1 0 1 0 0
1 3 1 2
1 1 2
2 5 2 0 2 4
Beta Concursos
38
x
y
0
1
2
3
4
5
1 R
2
1
1 2 3 4 5
2 R
3 R
5 R
4 R
Fig. 1.8
Exemplo 1.11
Uma firma de projeto A cobra R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de trabalho e uma firma B
cobra R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia.
a) Representar em um mesmo diagrama cartesiano os custos dos serviços de ambas as empresas.
b) Estabelecer um critério para a escolha da melhor firma pelo usuário, sob o ponto de vista financeiro,
admitindo que, hipoteticamente, ambas tenham a mesma competência.
Solução:
a) Do enunciado vem que:
Custo de A: C = (R$ 600,00/dia)d + (R$1000,00) A
Custo de B: C = (R$800,00/dia)d + (R$ 400,00) B
em que A C e B C representam, respectivamente, os custos dos serviços das empresas e d os dias
trabalhados.
Temos então as seguintes correspondências:
x«d
y «C
Beta Concursos
39
Tratam-se, portanto, das equações de duas retas e a reta A começa em um ponto de ordenada mais
baixa (pA = 400) e a reta B em um ponto de ordenada mais alta (pB = 1000). No entanto, o coeficiente
angular de B (mB = 800) é maior do que o coeficiente angular de A (mA = 600). Isto significa que tgaB >
tgaA , ou seja aB > aA , e as retas vão se interceptar. Determinemos pois as coordenadas do ponto de
intersecção:
C = C ⇒(R$ 600,00/dia)d + (R$1000,00) = (R$800,00/dia)d + (R$ 400,00)\ A B
R$1000,00-R$ 400,00 = (R$800,00/dia)d - (R$ 600,00/dia)d\
R$ 600,00 = (R$ 200,00/dia)d\
= 3 dias⇒ = = R$ 2800,00 A B d C C
Lembrando também que para d = 0 temos
= R$1000,00 A C
e
= R$ 400,00 B C
podemos traçar as retas de custos. Assim sendo:
0 1 2 3 d (dias)
R$ 2800,00
, (custos) A B C C
R$1000,00
R$ 400,00
A
B
Fig. 1.9
Beta Concursos
40
b) Uma rápida análise dos gráficos nos conduzem às seguintes conclusões:
1.ª) d < 3 dias ⇒ B é mais econômica.
2.ª) d = 3 dias ⇒ o custo é o mesmo.
3.ª) d > 3 dias ⇒ A é mais econômica.
1.11 Noção de Aplicação
Dados dois conjuntos A e B, denominamos aplicação de A em B a toda correspondência em que
a cada elemento x Î A temos associado um único y Î B.
Por exemplo: dados os conjuntos A = {5, 6, 7, 8} e B = {g, h, i, j, l} vamos apresentar a seguir
algumas aplicações de A em B:
5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8
g h i j l g h i j l g h i j l
(a) (b) (c)
Fig. 1.10
A flecha indica a correspondência entre os elementos de A e B. Na parte (a), a aplicação é o
conjunto de pares ordenados.
{(5, g), (6, h), (7, i), (8, j)}
na parte (b)
{(5, g), (6, i), (7, j), (8, l)}
e na parte (c)
{(5, g), (6, g), (7, i), (8, l)}.
Devemos ressaltar que cada elemento de A é unido pela flecha a um só elemento de B. Assim
sendo, do mesmo elemento x Î A não podem partir duas ou mais flechas.
Deste modo a correspondência
Beta Concursos
41
5 6 7 8
g h i j l
Fig. 1.11
não é uma aplicação.
O conjunto A é denominado domínio da aplicação e o elemento y, correspondente de x, é
denominado imagem de x. No exemplo (a) da figura 1.9 temos.
Elemento de A Imagem
5 ¾¾¾¾¾®
6 ¾¾¾¾¾®
7 ¾¾¾¾¾®
8 ¾¾¾¾¾®
O conjunto das imagens de uma aplicação f de A em B denomina-se imagem da aplicação e
será representado por f(A). Devemos notar que f(A) é uma sucessão, ou seja, um conjunto ordenado. Para
o exemplo (a) da figura 1.9 temos:
f (A) = (g ,h, i, j) e não ( ) 14243
ordem incorreta
h , g, j, i
1.12 Exercícios Propostos
1) Calcular as seguintes expressões:
a) (+ 5)+ (-12)
b) (+ 3,7)+ (- 0,7)
c) (+1,72)+ (- 0,28)
d) (+ 2)+ (- 7)+ (+ 4)+ (+ 2)+ (- 5)+ (+ 3)
e) (+ 9)+ (- 6)+ (- 2)+ (-1)+ (- 5)+ (+ 7)
2) Calcular as seguintes expressões:
Beta Concursos
42
a) (+ 4)- (+ 2)
b) (+10)- (+ 4)
c) (- 9)- (+ 3)
d) (- 7)- (- 5)
e) (+ 6)- (- 2)
3) Calcular as seguintes expressões:
a) (+ 4)´(+ 5)
b) (- 4)´ (- 5)
c) (- 2)´ (+1)
d) (- 4)´ (-1)´ (+ 3)´ (- 2)´ (- 5)
e) (+ 2)´ (- 3)´ (-1)´ (- 4)´ (+ 5)
4) Calcular as seguintes expressões:
a) (+12)¸ (+ 3)
b) (-15)¸ (- 3)
c) (+ 36)¸ (- 4)
d) (- 42)¸ (+ 6)
e) (- 81)¸ (- 9)
5) Calcular as seguintes potências:
a) ( )5 + 2
b) ( )3 - 3
c) ( )3 - 2
d) ( )3 - 7
e) ( )4 +10
6) Calcular os valores algébricos das seguintes raízes:
a) 4 625
b) 3 8
c) 4 81
d) 3 - 27
Beta Concursos
43
e) 5 32
7) Efetuar os seguintes produtos notáveis:
a) (2m3 y4 - 5b3m)2
b)
2
2 5
4
3
3
2



 a + x
c) (5 - a 2) (5 + a 2)
8) Resolver as seguintes equações do 1.º grau:
a) 5
2
= x
b) 5(z - 3) - 4(z + 2) = 3(1- 2z) + 2
c) y
y - - =
5
2 5
6
9) Resolver as seguintes equações do 2.º grau:
a) z2 - 8z +15 = 0
b) 6z-2 - 5z-1 +1 = 0
c) ( ) 6
7
1 z z - =
d) z2 - 4z + 4 = 0
e) 0
3
2 + + 1 = z z
10) Calcular 13 a na progressão aritmética
(1 , 5 , 9 , K)
11) Calcular 1 a em uma progressão aritmética, sabendo-se que r = 4 e 31 8 a = .
12) Somar os 15 primeiros termos da progressão aritmética (3 ,
2
7 , 4 , K)
13) Quantas vezes bate um relógio em 24 horas, admitindo-se que apenas bata as horas?
14) Calcular o 5.º e 8.º termos da progressão geométrica (2 , 4, K)
15) Em uma progressão geométrica, sabemos que 128 4 a = e q = 4 . Achar 1 a .
16) Sendo x e y positivos, calcular os limites das expressões a seguir quando o número de radicais cresce
indefinidamente.
a) x x x x K
b) x y x y K
Beta Concursos
44
c) x + x + x + x K
1.13 Respostas dos Exercícios Propostos
1) a) - 7 ; b) + 3,0 ; c) +1,44 ; d) -1 e) + 2
2) a) + 2 ; b) + 6 ; c) -12 ; d) - 2 e) + 8
3) a) + 20; b) + 20 ; c) - 2 ; d) +120 e) -120
4) a) + 4 ; b) + 5; c) - 9; d) - 7 ; e) + 9
5) a) + 32 ; b) - 27 ; c) - 8 ; d) - 343; e) +10.000
6) a) ± 5 ; b) + 2 ; c) ± 3; d) - 3; e) + 2
7) a) 4m6 y8 - 20b3m4 y4 + 25b6m2
b) 4 2 5 10
16
9
9
4
a + a x + x
c) 25 - 2a2
8) a) x = 10; b) z = 4 ; c) y = 5
9) a) 3 1 z = ; 5 2 z =
b) 3 1 z = ; 2 2 z =
c) 7 1 z = ; 6 2 z = -
d) z = 2
e) Não admite raízes no conjunto dos números reais. Voltaremos a esse assunto após
estudar a seção 1.14 (suas raízes são:
6
3
2
1
1 z = - + j ;
6
3
2
1
2 z = - - j ).
10) 49 13 a =
11) 3 1 a =
12)
2
195
15 S =
13) 156
14) 32 5 a = ; 256 8 a =
15) 2 1 a =
16) a) x; b) 3 3 2
1
3
2
x y = x y c)
2
1 + 1 + 4x
1.14 Números Complexos
Beta Concursos
45
1.14.1 Introdução
(a) Do mesmo modo que a generalização da noção de raiz de índice qualquer para um
número positivo exigiu a introdução do conceito de número irracional (p.ex.: 2 =1,414K,
3 =1,732K), também a impossibilidade da determinação de raízes de índice par de um
número negativo levou à noção de número imaginário.
(b) Os números positivos e negativos recebem, em conjunto, o nome de números reais.
Em contrapartida, denomina-se número imaginário ou número complexo à
toda expressão de forma x + jy 1, na qual x e y são números reais e j = -1 é a unidade
imaginária.
(c) Conforme já vimos na subseção 1.6.2, as raízes de uma equação do 2º grau,
az2 +bz + c = 0
são dadas pela conhecida fórmula
a
b b ac
z
2
= - ± 2 - 4 . (12)
Obtemos, então duas raízes reais e desiguais quando o discriminante é positivo
e uma raiz real dupla se ele for nulo.
Quando o discriminante é negativo, a fórmula (12) não conduz a nenhuma raiz
real e o trinômio az2 + bz + c = 0 é sempre diferente de zero qualquer que seja o valor real
que se atribua à z. Por exemplo, se tentarmos resolver a equação
z2 + 4z + 1 3 = 0
que já havia sido abordada no Exemplo 2, item c, somos conduzidos a:
2
4 36
2 1
4 42 4 1 13 = - ± -
´
= - ± - ´ ´ z
que não representa nenhum número real. Por outro lado, se operarmos normalmente como
se -1 fosse um número, teremos:
1 Os matemáticos usam i no lugar do j e os eletricistas preferem a letra j minúscula normal,
já que estes últimos usam a letra i para representar a corrente. No entanto, na Unidade 3,
Matrizes, é quase que universal a notação ij a para representar o elemento genérico. Assim
sendo optamos por j minúscula em negrita e itálica para representar a unidade imaginária.
Beta Concursos
46
( ) 2 3 1
2
4 6 1
2
4 36 1
= - ± - = - ± -
- ± -
z =
ou seja
2 3 1 1 z = - + -
e
2 3 1 1 z = - - -
Vamos substituir tais “números” na equação original a fim de verificar se eles
são realmente raízes. Ao procedermos desta forma devemos encarar o símbolo -1 como
se ele fosse mesmo um número em especial, lembrando inclusive que o seu quadrado é:
( 1) 1
2 - = - .
Temos então:
( ) ( ) ( )
4 12 1 9 8 12 1 13 0
4 13 2 3 1 4 2 3 1 13
2
1
2
1
= - - - - + - + =
z + z + = - + - + - + - + =
e
( ) ( ) ( )
4 12 1 9 8 12 1 13 0
4 13 2 3 1 4 2 3 1 13
2
2
2
2
= + - - - - - + =
z + z + = - - - + - - - + =
A partir de tais considerações conclui-se ser possível resolver a equação do 2º
grau mesmo quando temos b2 - 4ac < 0, se operarmos com o símbolo j = -1 como se
fosse um número. Conforme já mencionado ele deve ter a propriedade de que j 2 = -1, e
deve operar ao lado dos números reais com as mesmas leis que regem formalmente tais
números. Temos então os números complexos da forma x + jy onde, conforme já
mencionado, x e y são reais e j = -1 , tais como:
4 + j6 , 2
3
1
- j ,
9
4
3 + j ,
7
3
- 2 - j
onde o novo elemento j = -1 é denominado unidade imaginária.
Utilizando tal notação, as raízes da equação que acabamos de resolver assumem as
formas seguintes:
2 3 1 z = - + j
e
2 3 2 z = - - j
Beta Concursos
47
e no final da subseção 1.14.3 veremos por que tais raízes constituem um par complexo
conjugado.
Temos então de forma geral:
z = x + jy (34)
onde as grandezas reais x e y são denominadas as partes real e imaginária de z,
respectivamente. Podemos, inclusive, usar as notações Re(z) e Im(z) para representar tais
partes, ou seja:
x = Re(z) (35)
e
y = Im(z) (36)
Em particular quando x = 0 temos a expressão jy que será denominada número
imaginário puro ou simplesmente imaginário, reservando-se o nome número complexo
para o caso geral.
Quando y = 0 o número complexo reduz-se à sua parte real x.
(d) Uma vez que os números complexos não pertencem ao corpo dos números reais,
alguns “desavisados de plantão” podem pensar que tais soluções são meramente fictícias e
não representam nenhum fenômeno físico real. Para estes é bom mencionar que a corrente
alternada que chega às indústrias, hospitais e residências, é representada por funções
senoidais ou cossenoidais, que têm a mesma representação gráfica a menos de uma
defasagem de 90º. Acontece que o equacionamento de circuitos elétricos sob excitação
harmônica (senoidal) é bem mais simples no domínio da freqüência, no qual a solução
para a corrente é dada por um “fasor” I& , que é um número complexo. A fim de
relacionarmos o domínio da freqüência com o domínio do tempo é utilizada a relação
i(t ) = Re(I&e jwt )
i
m I
m - I
-f 0 wt
+ +
- -
corrente alternada
Fig. 1.12
que é bem conhecida do pessoal da área da Eletricidade. Ora, a corrente alternada senoidal
do tipo i(t ) = I (wt + f) m cos tem existência física real (qualquer dúvida é só tocar com um
dedo no terminal da fase de uma tomada energizada!). Assim sendo, as soluções
complexas ou imaginárias (sendo este último termo um tanto impróprio pois pode levar à
conclusões erradas) estão bem longe de serem fictícias sendo, é bem verdade, artifícios
Beta Concursos
48
engenhosos, nascidos no problema primordial de lidar com raízes de índices pares de
números negativos.
Exemplo 1.12
Determine x Î R para que o número complexo (5x2 - 7x)+ j7 seja imaginário puro.
Solução:
Para ele ser um número imaginário puro devemos ter parte real nula, ou seja:
( )
 

 


=
=
- = \ - = \
5
7
0
5 2 7 0 5 7 0
x
ou
x
x x x x
1.14.2 Potências de j
As potências sucessivas de j reproduzem-se periodicamente de quatro em
quatro, ou seja:
j0 = +1
j1 = j
( 1) 1
j2 = - 2 = -
j3 = j2. j = - j
j4 = j2. j2 = (-1)(-1) = +1
j5 = j2. j3 = (-1)(- j) = j
j6 = j3. j3 = (- j) (- j) = j2 = -1
j7 = j3. j4 = (- j)(+1) = - j
j8 = j4. j4 = (+1)(+1) = +1
j9 = j4. j5 = (+1) ( j) = j
.........................................................
Podemos escrever em geral:
4 = ( 4 ) =1 j p j p
Beta Concursos
49
j4 p+1 = (j4 )p j = j
j4 +2 = (j4 ) j2 = -1 p p
j4 p+3 = (j4 )p j3 = - j
Regra geral: para determinar o valor de uma potência de j qualquer, basta
dividir o expoente da potência por 4 e elevar j à potência determinada pelo resto
da divisão.
Exemplo 1.13
Efetuar as seguintes potências:
a) j7 ; b) j513 ; c) j1998 ; d) j500
Solução:
a) 7 4 ® j j7 = j3 = -
3 1
b) 5'1'3' 4 ® j513 = j
11 128
33
1
c) 1'9'9'8' 4 ® j1998 = j2 = -1
39 499
38
2
d) 5'0'0' 4 ® j500 = j0 = 1
10 125
20
0